Zielfunktion & Nebenbedingung < Extremwertprobleme < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:19 Mo 24.09.2007 | | Autor: | Thorsten |
| Aufgabe | Aus einer rechteckigen Fensterscheibe mit den Seitenlängen a und b ist vom Mittelpunkt der kürzeren Seite aus eine Ecke unter einem Winkel von 45° abgesprungen. Aus der restlichen Scheibe soll durch Schnitte parallel zu den ursprünglichen Seiten eine möglichst große neue, rechteckige Scheibe herausgeschnitten werden. Gib die Maße der neuen Scheibe an.
[Dateianhang nicht öffentlich] |
Hi!
Ich habe hier das Problem die beiden Gleichungen für Zielfunktion und Nebenbedingung aufzustellen.
Klar ist, dass die Fläche der ursprünglichen Scheibe [mm] a\*b [/mm] lautet. Weiterhin ist klar, wenn a die kürzere Seite sein soll, dass sich die Seite a halbiert. Auch bei b würde dann [mm] \bruch{a}{2} [/mm] abgezogen, weil der Bruch ja unter einem Winkel von 45° verlaufen ist. Das abgebrochene Dreieck hätte eine Fläche von [mm] \bruch{\bruch{a}{4}}{2}. [/mm] Aber wie kann ich diese Informationen nutzen? Evtl. hilft ja auch die Funktion der "Schnittgeraden"? Sie müsste doch g(x) = x + b - [mm] \bruch{a}{2} [/mm] lauten (Steigung 1, wegen 45° Winkel)????
Wäre nett, wenn mir jemand helfen würde.
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
Gruß
Thorsten
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: gif) [nicht öffentlich]
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> Aus einer rechteckigen Fensterscheibe mit den Seitenlängen
> a und b ist vom Mittelpunkt der kürzeren Seite aus eine
> Ecke unter einem Winkel von 45° abgesprungen. Aus der
> restlichen Scheibe soll durch Schnitte parallel zu den
> ursprünglichen Seiten eine möglichst große neue,
> rechteckige Scheibe herausgeschnitten werden. Gib die Maße
> der neuen Scheibe an.
> Hi!
> Ich habe hier das Problem die beiden Gleichungen für
> Zielfunktion und Nebenbedingung aufzustellen.
> Klar ist, dass die Fläche der ursprünglichen Scheibe [mm]a\*b[/mm]
> lautet. Weiterhin ist klar, wenn a die kürzere Seite sein
> soll, dass sich die Seite a halbiert. Auch bei b würde dann
> [mm]\bruch{a}{2}[/mm] abgezogen, weil der Bruch ja unter einem
> Winkel von 45° verlaufen ist. Das abgebrochene Dreieck
> hätte eine Fläche von [mm]\bruch{\bruch{a}{4}}{2}.[/mm] Aber wie
> kann ich diese Informationen nutzen? Evtl. hilft ja auch
> die Funktion der "Schnittgeraden"? Sie müsste doch g(x) = x
> + b - [mm]\bruch{a}{2}[/mm] lauten (Steigung 1, wegen 45°
> Winkel)????
Hallo,
wir tun uns etwas leichter, wenn wir die angeschlagene Scheibe möglichst geschickt in ein Koordinatensystem legen.
Leider kann ich kein Bild einstellen, daher beschreibe ich es Dir: wir legen die Scheibe so hin, daß die lange Seite mit der rechts abgeschlagenen Ecke unten liegt.
x-Achse entlang der langen Seite und die y Achse geht durch den Punkt, an welchem die lange Seite wegen der abgeschlagenen Ecke endet.
Nun ist die Gleichung der Geraden ja ganz einfach: y=x.
Der linke untere Punkt der Scheibe, die wir ausschneiden, wird die Koordinaten [mm] (-(b-\bruch{a}{2}, [/mm] irgendwas) haben, also auf dem linken Scheibenrand liegen. Sonst wären wir ja dumm.
Der linke obere Punkt hat die Koordinaten [mm] ((-(b-\bruch{a}{2}, [/mm] a) sonst wären wir auch dumm.
Der rechte untere Punkt liegt auf der Schräge, hat also die Koodinaten (x,x) mit [mm] x\in [0,\bruch{a}{2}].
[/mm]
Also muß der rechte untere Punkt die Koordinaten [mm] (-(b-\bruch{a}{2}, [/mm] x) haben,
und der rechte obere (x,a).
Nun kannst Du die Gleichung für die Fläche dieser Scheibe aufstellen, und den Extremwert unter der Nebenbedingung [mm] x\in [0,\bruch{a}{2}] [/mm] ermitteln.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:53 Mo 24.09.2007 | | Autor: | Thorsten |
Danke für die schnelle Reaktion. Aber leider kann ich dieser Beschreibung nicht folgen. Habe es in einem Koordinatensystem dargestellt únd bin leider genau so schlau wie vorher?!
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> Danke für die schnelle Reaktion. Aber leider kann ich
> dieser Beschreibung nicht folgen. Habe es in einem
> Koordinatensystem dargestellt únd bin leider genau so
> schlau wie vorher?!
Kannst Du auch kein Bild einstellen?
Was fehlt Dir nun, warum kommst Du nicht weiter?
Liegen denn die Eckpunkte Deiner neuen Scheibe so, wie ich es beschreiben habe?
Dann mußt Du jetzt doch für die Funktion, die die Fläche liefert, nur die Seitenlängen herausfinden.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:05 Mo 24.09.2007 | | Autor: | Thorsten |
Ich habe bei meiner Skizze die längere Seite b auf die x-Achse gelegt und die kürzere Seite a auf die y-Achse. D.h. die Scheibe bricht bei [mm] \bruch{a}{2} [/mm] und dieser Punkt liegt ebenfalls auf der y-Achse. Deshalb entsteht doch nicht die Geradengleichung y = x.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:19 Mo 24.09.2007 | | Autor: | Thorsten |
So, habe nun eine Skizze angehängt.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: gif) [nicht öffentlich]
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Hallo,
lies Dir doch nochmal durch, wie ich die Scheibe hinlege.
Du hast es völlig anders als ich gemacht, da kann es ja nicht zusammenpassen.
(Anders - falsch ist es nicht.)
Bei mir ist die abgeschlagene Ecke rechts unten. Der Nullpunkt meines Koodinatensystems ist dort, wo auf der Seite, die ursprünglich die Länge b hatte, die Schräge beginnt. Meine y-Achse läuft durch die Scheibe. Ich habe das so gemacht, weil ich dann die abgeschlagene Ecke so schön einfach beschreiben kann.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:38 Mo 24.09.2007 | | Autor: | Thorsten |
Dann müsste die Hypothenuse des Brechtwinkligen Dreiecks (das Bruchstück) die Y-Achse bei [mm] (0/\bruch{a}{2}) [/mm] schneiden. Dann lautet die Geradengleichung y = -x + [mm] \bruch{a}{2} [/mm] und wäre die Nebenbedingung?!
Zielfunktion [mm] \Rightarrow [/mm] f(x) = [mm] (b-\bruch{a}{2})\*(a-\bruch{a}{2}). [/mm] Stimmt das soweit??? Und wie verwende ich dann die Funktionen, sprich wie mache ich eine Funktion daraus?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:09 Mo 24.09.2007 | | Autor: | Thorsten |
Ok, dann erhalte ich als Zielfunktion [mm] (\bruch{a}{2}+x)\*(b-x), [/mm] also:
-x² + bx - 0,5ax + 0,5ab. Erste Ableitung [mm] \Rightarrow [/mm] -2x + b - 0,5a = 0. Aber dann hab ich doch ein überbesetztes Gleichungssystem?!
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Hallo Thorsten!
> Ok, dann erhalte ich als Zielfunktion [mm](\bruch{a}{2}+x)\*(b-x),[/mm]
> also: -x² + bx - 0,5ax + 0,5ab.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Erste Ableitung [mm]\Rightarrow[/mm] -2x + b - 0,5a = 0.
> Aber dann hab ich doch ein überbesetztes Gleichungssystem?!
Nein, wieso? Deine gesuchte Variable ist das $x_$ .
$a_$ und $b_$ sind feste Werte (sogenannte Parameter).
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:21 Mo 24.09.2007 | | Autor: | Thorsten |
Nach x aufgelöst:
x = [mm] -(\bruch{0,5a-b}{2})
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] Maße der neuen Scheibe:
[mm] (\bruch{a}{2}-(\bruch{0,5a-b}{2})\*(b+(\bruch{0,5a-b}{2}).
[/mm]
Also erhalte ich keine Zahlenwerte für die neue Scheibe?!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:25 Mo 24.09.2007 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Nach x aufgelöst:
> x = [mm]-(\bruch{0,5a-b}{2})[/mm]
Yep,
> [mm]\gdw[/mm] Maße der neuen Scheibe:
> [mm](\bruch{a}{2}-(\bruch{0,5a-b}{2})\*(b+(\bruch{0,5a-b}{2}).[/mm]
Das sieht auch gut aus.
> Also erhalte ich keine Zahlenwerte für die neue Scheibe?!
Richtig.
Marius
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Hallo Thorsten!
> Nach x aufgelöst: x = [mm]-(\bruch{0,5a-b}{2})[/mm]
> [mm]\gdw[/mm] Maße der neuen Scheibe: [mm](\bruch{a}{2}-(\bruch{0,5a-b}{2})\*(b+(\bruch{0,5a-b}{2}).[/mm]
Hier kann man aber jeweils noch zusammenfassen ...
Gruß vom
Roadrunner
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Hallo Thorsten!
Selbstverständlich funktioniert es auch mit Deiner Skizze / Deiner Anordnung. Allerdings lautet dann die Geradengleichung für die schräge Bruchkante anders:
$$y \ = \ [mm] \bruch{a}{2}-x$$
[/mm]
Gruß vom
Roadrunner
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![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]"){kind=small}
Wo ist denn die gesuchte Variable $x_$ abgeblieben?
