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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:32 Sa 27.04.2013 | | Autor: | link963 |
| Aufgabe | a) Leite aus dem Zerlegungsatz die Formel $ [mm] U^{\perp\perp} [/mm] = U $ für jeden abgeschlossenen linearen Unterraum U eines Hilbertraumes H her.
b) Beweise unter Verwendung von Teil a) und $ [mm] U^\perp [/mm] = [mm] \overline{U}^\perp [/mm] $ folgendes "grenzwert-freies" Kriterium für die Abgeschlossenheit eines linearen Unterraums $ U [mm] \subseteq [/mm] H $:
$ U = [mm] \overline{U} \gdw [/mm] U = [mm] U^{\perp\perp} [/mm] $ |
Hallo,
zu a)
Nach Zerlegungssatz gilt für $ U [mm] \subseteq [/mm] H $: $ H = U [mm] \oplus U^\perp [/mm] $, also für $ [mm] U^\perp \subseteq [/mm] H $: $ H = [mm] U^\perp \oplus U^{\perp\perp} [/mm] $.
[mm] \Rightarrow [/mm] $ U [mm] \oplus U^\perp [/mm] = [mm] U^\perp \oplus U^{\perp\perp} [/mm] $
[mm] \Rightarrow [/mm] $ U = [mm] U^{\perp\perp} [/mm] $
zu b)
[mm] "\Rightarrow": [/mm] Folgt schon mit Teil a), da der Zerlegungssatz nur für abgeschlossene Unterräume gilt.
[mm] "\Leftarrow":
[/mm]
$ U = [mm] U^{\perp\perp} [/mm] = [mm] (U^\perp)^\perp [/mm] = [mm] (\overline{U}^\perp)^\perp [/mm] = [mm] \overline{U}^{\perp\perp} [/mm] = [mm] \overline{U} [/mm] $
Ist das so korrekt? Scheint mir ein wenig kurz.
Viele Grüße
link963
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:37 So 28.04.2013 | | Autor: | fred97 |
> a) Leite aus dem Zerlegungsatz die Formel [mm]U^{\perp\perp} = U[/mm]
> für jeden abgeschlossenen linearen Unterraum U eines
> Hilbertraumes H her.
>
> b) Beweise unter Verwendung von Teil a) und [mm]U^\perp = \overline{U}^\perp[/mm]
> folgendes "grenzwert-freies" Kriterium für die
> Abgeschlossenheit eines linearen Unterraums [mm]U \subseteq H [/mm]:
>
> [mm]U = \overline{U} \gdw U = U^{\perp\perp}[/mm]
> Hallo,
>
> zu a)
> Nach Zerlegungssatz gilt für [mm]U \subseteq H [/mm]: [mm]H = U \oplus U^\perp [/mm],
> also für [mm]U^\perp \subseteq H [/mm]: [mm]H = U^\perp \oplus U^{\perp\perp} [/mm].
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] [mm]U \oplus U^\perp = U^\perp \oplus U^{\perp\perp}[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] [mm]U = U^{\perp\perp}[/mm]
Für diese Folgerung fehlt noch eine Begründung !
>
> zu b)
> [mm]"\Rightarrow":[/mm] Folgt schon mit Teil a), da der
> Zerlegungssatz nur für abgeschlossene Unterräume gilt.
>
> [mm]"\Leftarrow":[/mm]
> [mm]U = U^{\perp\perp} = (U^\perp)^\perp = (\overline{U}^\perp)^\perp = \overline{U}^{\perp\perp} = \overline{U}[/mm]
b) ist O.K.
FRED
>
> Ist das so korrekt? Scheint mir ein wenig kurz.
> Viele Grüße
>
> link963
>
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