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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:27 Di 30.11.2010 | | Autor: | jacob17 |
Zu bestimmen ist der Zerfallungskörper L des folgenden Polynoms
[mm] x^4+2x^2-2 \in [/mm] Q[x].
Habe zu diesem Thema recht wenig gefunden. Falls [mm] K\subseteqL [/mm] eine Körpererweiterung ist so nennt man doch L einen Zerfallungskörper eines Polynoms p [mm] \in [/mm] K[x] falls alle Nullstellen von p wieder in L liegen und L diesbezüglich minimal ist. 1) was bedeutet "diesbezüglich minimal"? 2) gibt es zu jedem Polynom in K[x] auch unterschiedliche Zerfallungskörper 3) Wozu dient die Bestimmung des Zerfallungskörpers und 4) Wie ermittelt man diesen zu einem beliebigen Polynom aus K[x] Meint Zerfallungskörper dass das Polynom über selbigem vollständig in Linearfaktoren zerfällt? Somit müsste man doch nur sämtliche Nullstellen des Polynoms ermitteln?
Ich weiß das sind sehr viele Fragen, aber ich möchte dieses Thema wirklich verstehen.
jacob
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 06:51 Mo 06.12.2010 | | Autor: | felixf |
Moin jacob!
> Zu bestimmen ist der Zerfallungskörper L des folgenden
> Polynoms
> [mm]x^4+2x^2-2 \in[/mm] Q[x].
>
> Habe zu diesem Thema recht wenig gefunden. Falls
> [mm]K\subseteqL[/mm] eine Körpererweiterung ist so nennt man doch L
> einen Zerfallungskörper eines Polynoms p [mm]\in[/mm] K[x] falls
> alle Nullstellen von p wieder in L liegen und L
> diesbezüglich minimal ist. 1) was bedeutet "diesbezüglich
> minimal"?
Es gibt keinen echten Unterkoerper von $L$, der $K$ und alle Nullstellen von $p$ enthaelt. Sprich: sind [mm] $\alpha_1, \dots, \alpha_n \in [/mm] L$ die Nullstellen von $p$, so ist $L = [mm] K(\alpha_1, \dots, \alpha_n)$.
[/mm]
> 2) gibt es zu jedem Polynom in K[x] auch
> unterschiedliche Zerfallungskörper 3)
Ja, allerdings sind die isomorph als $K$-Algebren.
Und sie unterscheiden sich halt hauptsaechlich darin, wie die Elemente heissen. So ist etwa sowohl [mm] $\IC$ [/mm] wie auch [mm] $\IR[T]/(T^2+1)$ [/mm] ein Zerfaellugskoerper von [mm] $x^2 [/mm] + 1 [mm] \in \IR[x]$.
[/mm]
> Wozu dient die
> Bestimmung des Zerfallungskörpers
Haengt davon ab, was man damit vorhat.
Meistens tut man das entweder, weil es eine Aufgabe ist und man es tun soll, oder weil man mit dem Zerfaellungskoerper etwas tun moechte.
> und 4) Wie ermittelt man
> diesen zu einem beliebigen Polynom aus K[x]
Man faktorisiert das Polynom Stueck fuer Stueck. Sprich:
Man sucht erst einen irreduziblen Faktor kleinsten Grades von $f$, sagen wir $h$. Dann betrachtet man [mm] $L_1 [/mm] := K[x]/(h)$ und schaut [mm] $\frac{f}{h}$ [/mm] als Polynom in [mm] $L_1[x]$ [/mm] an. Dann macht man per Induktion weiter, bis man einen Koerper [mm] $L_t$ [/mm] erhaelt, so dass das, was von $f$ uebrigbleibt, alle Nullstellen in [mm] $L_t$ [/mm] hat.
> Meint
> Zerfallungskörper dass das Polynom über selbigem
> vollständig in Linearfaktoren zerfällt?
Ja. Und es ist der kleinste solche Koerper.
> Somit müsste man
> doch nur sämtliche Nullstellen des Polynoms ermitteln?
Sozusagen ja. Wenn man einen Oberkoerper hat, in dem es Nullstellen hat. Ansonsten muss man den mitkonstruieren.
Oben hab ich gesagt, wie man ihn konstruieren kann.
Wenn du einen Oberkoerper hast, wie [mm] $\IC$, [/mm] in dem du alle Nullstellen finden kannst, geht das natuerlich einfacher...
LG Felix
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