Zerfallsprozess < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
Hallo,
ich brauche Hilfe bei einer Aufgabe:
Ein Zerfallsprozess für eine radioaktive Substanz genüge der Gleichung y´ = [mm] -\alpha y^p [/mm] mit positiven Konstanten [mm] \alpha [/mm] und p. Dabei gibt y(t) die Masse der Substanz zur Zeit t an.
Man zeige: Ist p < 1, so ist die Substanz nach einer gewissen Zeit vollständig zerfallen, d.h. [mm] \exists [/mm] T [mm] \in \IR [/mm] mit y(T) = 0; ist p [mm] \ge [/mm] 1, so strebt y(t) gegen Null, ist aber nie exakt Null.
Ich weiss nicht wie man so eine Aufgabe angeht. Differentialgleichungen kann ich (an sich ;) lösen.
Frage nirgendwo anders gestellt.
ciao
Fingolfin
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:51 Mo 20.06.2005 | | Autor: | Fugre |
> Hallo,
>
> ich brauche Hilfe bei einer Aufgabe:
>
> Ein Zerfallsprozess für eine radioaktive Substanz genüge
> der Gleichung y´ = [mm]-\alpha y^p[/mm] mit positiven Konstanten
> [mm]\alpha[/mm] und p. Dabei gibt y(t) die Masse der Substanz zur
> Zeit t an.
> Man zeige: Ist p < 1, so ist die Substanz nach einer
> gewissen Zeit vollständig zerfallen, d.h. [mm]\exists[/mm] T [mm]\in \IR[/mm]
> mit y(T) = 0; ist p [mm]\ge[/mm] 1, so strebt y(t) gegen Null, ist
> aber nie exakt Null.
>
> Ich weiss nicht wie man so eine Aufgabe angeht.
> Differentialgleichungen kann ich (an sich ;) lösen.
>
> Frage nirgendwo anders gestellt.
>
> ciao
> Fingolfin
>
Hallo Fingolfin,
dir ist bekannt, dass die erste Ableitung der Funktion [mm] $f'(x)=-\alpha f(x)^p [/mm] $ lautet;
außerdem weißt du, dass $f(x)$ der Masse der Substanz zum Zeitpunkt $x$ entspricht.
Nun müsstest du die Funktionenschar $f(x)$ bilden und zeigen, dass die Funktionen
dieser Schar nur für $p<1$ Nullstellen hat und sie für $p=1$ gegen null konvergiert,
also eine Grenzwertbetrachtung.
Ich hoffe, dass ich dir helfen konnte. Sollte etwas unklar sein, so frag bitte nach.
Liebe Grüße
Fugre
|
|
|
| |
|
Hallo,
also von der Vorgehensweise her ist mir das jetzt klar geworden.
Das f(x) zu Bestimmen heisst ja nichts anderes, als die Differentialgleichung wie üblich zu lösen, oder?
Aber hier fängt's schon an: Von welchem Typ ist die Gleichung eigentlich?
Ich bekomme da nichts sinnvolles raus.
Gruß und thx
Fingolfin
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:54 Di 21.06.2005 | | Autor: | leduart |
Hallo
[mm] y'*y^{-p}=-\alpha [/mm] und der Hinweis leit mal [mm] y^{-p+1} [/mm] ab müssten reichen! Vorsicht bei p=1 gesondert behandeln!
Gruss leduart
|
|
|
|
