Zerfällungskörper, Galoisgr. < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 02:56 Fr 15.04.2011 | | Autor: | Lippel |
| Aufgabe | Betrachte die Polynome [mm] $f(X)=X^4+1, g(X)=X^4-10X^2+5$ [/mm] und [mm] $h(X)=X^4-3X^2+3 \in \IQ[X]$.
[/mm]
Zu zeigen ist:
(a) $f, [mm] g\:$ [/mm] und [mm] $h\:$ [/mm] sind irreduzible über [mm] $\IQ$.
[/mm]
(b) Die zugehörigen Galoisgruppen sind paarweise nicht isomorph. |
Hallo,
ich habe beim zweiten Teil so meine Probleme. Aber zunächst (a):
g und h sind nach Eisenstein irreduzibel mit $p=5$ und $p=3$. Es ist außerdem [mm] $f(X+1)=X^4+4X^3+6X^2+4X+2$ [/mm] irreduzibel nach Eisenstein mit $p=2$. Also ist auch f irreduzibel über [mm] $\IQ$
[/mm]
(b) f hat sie Nullstellen [mm] $\zeta=e^{i\frac{\pi}{8}}, \zeta^3, \zeta^5, \zeta^7$. [/mm] Diese liegen alle bereits in [mm] $L:=\IQ(\zeta)$. [/mm] Damit ist $L$ ein Zerfällunskörper von $f$ über [mm] $\IQ$ [/mm] und es gilt [mm] $[L:\IQ]=4$.
[/mm]
$g$ können wir in [mm] $\IC[X]$ [/mm] wie folgt zerlegen: [mm] $g(X)=(X^2-(5+2\sqrt{5}))(X^2-(5-2\sqrt{5}))=(X-\sqrt{5+2\sqrt{5}})(X+\sqrt{5+2\sqrt{5}})(X-\sqrt{5-2\sqrt{5}})(X+\sqrt{5-2\sqrt{5}})=(X-a)(X+a)(X-b)(X+b)$ [/mm] mit [mm] $a=\sqrt{5+2\sqrt{5}}, b=\sqrt{5-2\sqrt{5}}$
[/mm]
Ich sehe nicht, dass $b$ bereits in [mm] $\IQ(a)$ [/mm] liegt. Aber wie kann ich das prüfen? Es ergäbe sich hier als Zerfällungskörper [mm] $L'=\IQ(a,b)$ [/mm] und mit [mm] $[\IQ(a):\IQ]=4$ [/mm] und [mm] $[L':\IQ(a)]=2$ [/mm] (wegen [mm] $b^2=10-a^2$): $[L':\IQ]=8$. [/mm] Aber ich bin mir wie gesagt nicht sicher, ob nicht b bereits in [mm] $\IQ(a)$ [/mm] liegt.
Für $h$ ergibt sich eine ähnliche Form: [mm] $h(X)=X^4-3X^2+3 [/mm] = [mm] (X^2-\frac{3+\sqrt{-3}}{2})(X^2-\frac{3-\sqrt{-3}}{2}) [/mm] = (X+a)(X-a)(X+b)(X-b)$ mit $a = [mm] \sqrt{\frac{3+\sqrt{-3}}{2}}, [/mm] b = [mm] \sqrt{\frac{3-\sqrt{-3}}{2}}$.
[/mm]
Wieder weiß ich nicht, wie ich testen kann, ob $b$ in [mm] $\IQ(a)$ [/mm] liegt? Auf den ersten Blick ist dies nicht der Fall.
Ist jedoch $b [mm] \not\in \IQ(a)$, [/mm] dann hätten doch g und h die gleiche Galoisgruppe [mm] ($D_4$?).
[/mm]
Ich habe noch versucht, die Diskriminante der beiden Polynome zu bestimmen, um zu testen, ob die Galoisgruppen in der [mm] $A_4$ [/mm] liegen. Es ergeben sich keine Quadratzahlen in [mm] $\IQ$ [/mm] (modulo Rechenfehler), damit liegen beide Galoisgruppen nicht in der [mm] $A_4$. [/mm] Hilft mir das weiter?
LG Lippel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:14 So 17.04.2011 | | Autor: | wieschoo |
Hi,
ich kann dir nur das Ergebnis geben:
f Kleinsche Vierergruppe
g zyklische gruppe 4 C4
h Dieedergruppe D4
laut Maple. Ich suche auch noch das erzeugende Element für die g. Bist nicht allein 
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 07:06 Mo 18.04.2011 | | Autor: | statler |
Hi,
das erzeugende Element für die g ist a [mm] \mapsto [/mm] -b. Weiß Ahorn das nicht? Traurig.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:53 Mo 18.04.2011 | | Autor: | Lippel |
Hallo,
vielen Dank euch beiden. Ich weiß jetzt auch, warum der Zerfällungskörper von g nur Grad 4 über [mm] $\IQ$ [/mm] hat. Es ist mit $ [mm] a=\sqrt{5+2\sqrt{5}}, b=\sqrt{5-2\sqrt{5}}$ [/mm] b Nullstelle des Polynoms [mm] $aX-\frac{1}{2}a^2+\frac{5}{2} \in \IQ(a)[X]$ [/mm] ist. Also $b [mm] \in \IQ(a)$.
[/mm]
Trotzdem würde mich noch interessieren, ob es da eine systematische Vorgehensweise gibt um festzustellen, ob bei Adjunktion einer Nullstelle eines Polynoms noch weitere Nullstellen dieses Polynoms im so erhaltenen Körper liegen. Kennt da jemand ein Konzept?
LG Lippel
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 12:39 Di 19.04.2011 | | Autor: | statler |
Mahlzeit!
> vielen Dank euch beiden. Ich weiß jetzt auch, warum der
> Zerfällungskörper von g nur Grad 4 über [mm]\IQ[/mm] hat. Es ist
> mit [mm]a=\sqrt{5+2\sqrt{5}}, b=\sqrt{5-2\sqrt{5}}[/mm] b Nullstelle
> des Polynoms [mm]aX-\frac{1}{2}a^2+\frac{5}{2} \in \IQ(a)[X][/mm]
> ist. Also [mm]b \in \IQ(a)[/mm].
>
> Trotzdem würde mich noch interessieren, ob es da eine
> systematische Vorgehensweise gibt um festzustellen, ob bei
> Adjunktion einer Nullstelle eines Polynoms noch weitere
> Nullstellen dieses Polynoms im so erhaltenen Körper
> liegen. Kennt da jemand ein Konzept?
In diesem Falle war mir aufgegangen, daß [mm] \sqrt{5} [/mm] in [mm] \IQ(a) [/mm] und in [mm] \IQ(b) [/mm] liegt und ab = [mm] \sqrt{5} [/mm] ist. Darauf wäre ich allerdings wohl nicht gekommen, wenn nicht in der Aufgabe gestanden hätte, daß die 3 Gruppen verschieden sein sollen. Da als 8er-Gruppe nur D4 in Frage kommt, bleibt hier nur Z4.
Man kann das auch systematisch abarbeiten, sonst gäbe es ja keine Computer-Programme zur Lösung. Aber den Weg muß ich mir erst wieder zurechtlegen, ich laß das mal offen für jemand Schnelleren.
Gruß aus HH-harburg
Dieter
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:20 Do 21.04.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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