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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 02:34 Mi 20.04.2011 | | Autor: | Lippel |
| Aufgabe | Es sei p eine Primzahl und [mm] $K=\IQ(i,\sqrt[4]{p})$
[/mm]
(a) Zeigen Sie, dass [mm] $K/\IQ$ [/mm] eine galoissche Erweiterung ist und bestimmen Sie den Körpergrad [mm] $[K:\IQ]$ [/mm] sowie die Galoisgruppe [mm] $Gal(K/\IQ)$
[/mm]
(b) Bestimmen Sie alle $n [mm] \in \IN$, [/mm] sodass K der Zerfällungskörper eines irreduziblen Polynoms vom Grad n ist. Geben Sie ein solches Polynom an. |
Hallo,
ich komme nicht weiter bei Aufgabenteil b.
In (a) habe ich gezeigt, dass die Erweiterung normal und separabel ist, da K Zerfällungskörper von [mm] $X^4-p$ [/mm] über [mm] $\IQ$ [/mm] ist und [mm] $char\:\IQ=0$. [/mm] Damit ist die Erweiterung galoissch. [mm] $X^4-p$ [/mm] ist irred. mit Nullstelle [mm] $a:=\sqrt[4]{p}$, [/mm] damit ist [mm] $[\IQ(a):\IQ]=4$ [/mm] aber $i [mm] \not\in \IQ(a)$, [/mm] da [mm] $\IQ(a) \subseteq \IR$. [/mm] Es ist jedoch $i$ Nullstelle von [mm] $X^2+1 \in \IQ(a)[X]$ [/mm] und somit [mm] $[K:\IQ(a)]=2$. [/mm] Nach dem Gradsatz also [mm] $[K:\IQ]=8$.
[/mm]
Als Galoisgruppe habe ich die [mm] $D_4$ [/mm] erhalten. Diese ist erzeugt durch [mm] $\sigma:a \mapsto [/mm] ia, i [mm] \mapsto [/mm] i$ und [mm] $\tau: [/mm] a [mm] \mapsto [/mm] a, i [mm] \mapsto [/mm] -i$. Es gilt [mm] $\sigma^4=\tau^2=id$ [/mm] und [mm] $\sigma^3\tau=\tau\sigma$. [/mm] So erhält man die [mm] $D_4$.
[/mm]
(b) Hier feht mir vollkommen eine Idee. Ich weiß ja, dass K Zerfällunskörper von [mm] $X^4-p$ [/mm] ist, aber wie komme ich auf weitere Polynome. Ich würde mich freuen, wenn mir jemand mit einem Ansatz weiterhelfen könnte.
LG Lippel
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 06:57 Mi 20.04.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Es sei p eine Primzahl und [mm]K=\IQ(i,\sqrt[4]{p})[/mm]
>
> (a) Zeigen Sie, dass [mm]K/\IQ[/mm] eine galoissche Erweiterung ist
> und bestimmen Sie den Körpergrad [mm][K:\IQ][/mm] sowie die
> Galoisgruppe [mm]Gal(K/\IQ)[/mm]
>
> (b) Bestimmen Sie alle [mm]n \in \IN[/mm], sodass K der
> Zerfällungskörper eines irreduziblen Polynoms vom Grad n
> ist. Geben Sie ein solches Polynom an.
> Hallo,
>
> ich komme nicht weiter bei Aufgabenteil b.
>
> In (a) habe ich gezeigt, dass die Erweiterung normal und
> separabel ist, da K Zerfällungskörper von [mm]X^4-p[/mm] über [mm]\IQ[/mm]
> ist und [mm]char\:\IQ=0[/mm]. Damit ist die Erweiterung galoissch.
> [mm]X^4-p[/mm] ist irred. mit Nullstelle [mm]a:=\sqrt[4]{p}[/mm], damit ist
> [mm][\IQ(a):\IQ]=4[/mm] aber [mm]i \not\in \IQ(a)[/mm], da [mm]\IQ(a) \subseteq \IR[/mm].
> Es ist jedoch [mm]i[/mm] Nullstelle von [mm]X^2+1 \in \IQ(a)[X][/mm] und
> somit [mm][K:\IQ(a)]=2[/mm]. Nach dem Gradsatz also [mm][K:\IQ]=8[/mm].
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Als Galoisgruppe habe ich die [mm]D_4[/mm] erhalten. Diese ist
> erzeugt durch [mm]\sigma:a \mapsto ia, i \mapsto i[/mm] und [mm]\tau: a \mapsto a, i \mapsto -i[/mm].
> Es gilt [mm]\sigma^4=\tau^2=id[/mm] und [mm]\sigma^3\tau=\tau\sigma[/mm]. So
> erhält man die [mm]D_4[/mm].
> (b) Hier feht mir vollkommen eine Idee. Ich weiß ja, dass
> K Zerfällunskörper von [mm]X^4-p[/mm] ist, aber wie komme ich auf
> weitere Polynome. Ich würde mich freuen, wenn mir jemand
> mit einem Ansatz weiterhelfen könnte.
Also: falls $K$ ein Zerfaellungskoerper von $f$ ueber [mm] $\IQ$ [/mm] ist, dann muss [mm] $\deg [/mm] f$ ein Teiler von $[K : [mm] \IQ]$ [/mm] sein, und $[K : [mm] \IQ]$ [/mm] ist ein Teiler von [mm] $(\deg [/mm] f)!$.
Damit und mit (a) siehst du, dass [mm] $\deg [/mm] f [mm] \in \{ 4, 8 \}$ [/mm] sein muss. Den Fall [mm] $\deg [/mm] f = 4$ hast du mit [mm] $X^4 [/mm] - p$ schon erledigt.
Jetzt musst du dir noch ueberlegen, ob [mm] $\deg [/mm] f = 8$ geht. (Dazu kannst du verwenden, dass $K / [mm] \IQ$ [/mm] separabel ist.)
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:12 Do 21.04.2011 | | Autor: | Lippel |
Hallo Felix, vielen Dank für deine Hilfe,
> Jetzt musst du dir noch ueberlegen, ob [mm]\deg f = 8[/mm] geht.
> (Dazu kannst du verwenden, dass [mm]K / \IQ[/mm] separabel ist.)
Da [mm] $K/\IQ$ [/mm] separabel ist, gibt es ein primitives Element b der Erweiterung (ich nehme an eines ist [mm] $\sqrt[4]{2}+i$). [/mm] Das Minimalpolynom f von b hat den Grad 8 und ist separabel, d.h. es hat nur verschiedene Nullstellen in [mm] $\IC$. [/mm] Damit K Zerfällungskörper von f ist, müssen alle diese Nullstellen K erzeugen (aber das tut ja bereits eine). Außerdem müssen alle Nullstellen in K liegen. Bekommen ich hier irgendwie einen Widerspruch? Ich vermute es fast, sehe es aber nicht. Oder wie kann ich so ein Polynom konstruieren?
LG Lippel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:39 Do 21.04.2011 | | Autor: | felixf |
Moin Lippel!
> > Jetzt musst du dir noch ueberlegen, ob [mm]\deg f = 8[/mm] geht.
> > (Dazu kannst du verwenden, dass [mm]K / \IQ[/mm] separabel ist.)
>
> Da [mm]K/\IQ[/mm] separabel ist, gibt es ein primitives Element b
> der Erweiterung (ich nehme an eines ist [mm]\sqrt[4]{2}+i[/mm]).
Ja, das ist vermutlich eins. Hab grad (ebenfalls) keine Lust es nachzurechnen 
> Das Minimalpolynom f von b hat den Grad 8 und ist separabel,
> d.h. es hat nur verschiedene Nullstellen in [mm]\IC[/mm].
> Damit K Zerfällungskörper von f ist, müssen alle diese
> Nullstellen K erzeugen (aber das tut ja bereits eine).
> Außerdem müssen alle Nullstellen in K liegen. Bekommen
> ich hier irgendwie einen Widerspruch? Ich vermute es fast,
> sehe es aber nicht.
Nein, du bekommst keinen Widerspruch.
> Oder wie kann ich so ein Polynom konstruieren?
Das Minimalpolynom irgendeines primitiven Elements tuts schon: es ist irreduzibel von Grad 8 (ueber [mm] $\IQ$), [/mm] und hat eine Nullstelle in $K$.
Da $K$ ein Zerfaellungskoerper ist, also insb. normal ueber [mm] $\IQ$, [/mm] zerfaellt jedes ueber [mm] $\IQ$ [/mm] irreduzible Polynom mit Nullstelle in $K$ ueber $K$ bereits in Linearfaktoren.
Damit ist $K$ Zerfaellungskoerper eines jeden Minimalpolynoms von primitiven Elementen von $K / [mm] \IQ$.
[/mm]
Konkret angeben musst du uebrigens kein Polynom, du musst laut Aufgabenstellung nur zeigen welche Grade auftreten koennen. Und dass 8 auch auftreten kann ist hiermit bewiesen.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:32 Sa 23.04.2011 | | Autor: | Lippel |
Hallo Felix, vielen Dank für die gute und vor allem schnelle Hilfe.
LG Lippel
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