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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:06 Mi 08.12.2010 | | Autor: | jacob17 |
Hallo miteinander,
Meine Frage:
Sei eine Körpererweiterung [mm] \IQ \subset \IQ(\wurzel[4]{2},i):=L [/mm] gegeben.
Zu bestimmen ist nun
a) der Erweiterungsgrad [mm] [L:\IQ] [/mm]
b) ist zu zeigen dass L ein Zerfallungskörper von [mm] x^4-2 \in \IQ[X] [/mm] ist.
c) z.Z [mm] L=\IQ((\wurzel[4]{2}+i)
[/mm]
Beweis zu a) Hier würde ich gerne die Gradformel anwenden Also
[mm] [L:\IQ] [/mm] = [L: [mm] \IQ \wurzel[4]{2}] [\IQ \wurzel[4]{2}:Q] [/mm] Es ist klar, dass der Erweiterungsgrad von [mm] [\IQ \wurzel[4]{2}:Q] [/mm] 4 beträgt, da der Grad des Minimalpolynoms 4 ist. Wie bestimmt man nun aber den Grad von [L: [mm] \IQ \wurzel[4]{2}]? [/mm] Hierzu muss man ja das Minimalpolynom von L über [mm] \IQ \wurzel[4]{2} [/mm] bestimmen. Wie macht man das? Beziehungsweise wie sehen überhaupt die Elemente aus [mm] \IQ \wurzel[4]{2} [/mm] aus? Wird eine Basis dieses Erweiterungskörpers durch die Nullstellen des Minimalpolynoms [mm] x^4-2 [/mm] gebildet?
Beweis zu b) Zunächst einmal macht man doch diese Körpererweiterung L da das Polynom [mm] x^4-2 [/mm] in [mm] \IQ[X] [/mm] nur reelle Nullstellen besitzt. Deswegen erweitert man diesen Körper doch mit dem i oder? Um nun zu zeigen dass L Zerfällungskörper von [mm] x^4-2 [/mm] in [mm] \IQ[X] [/mm] ist betrachtet man zunächst die Nullstellen von [mm] x^4-2 [/mm] diese sind [mm] \pm \wurzel[4]{2} [/mm] und [mm] \pm [/mm] i* [mm] \wurzel[4]{2} [/mm] Ist dann der Zerfällungskörper von [mm] x^4-2 [/mm] schon in [mm] \IQ (\wurzel[4]{2},i) [/mm] enthalten? Wenn ja warum? Besteht dann eine Basis des Zerfällungskörpers aus den Nullstellen von [mm] x^4-2? [/mm] Wenn ja dann würde ja auch sofort folgen dass auch [mm] \IQ(\wurzel[4]{2},i) [/mm] im Zerfällungskörper enthalten ist, da [mm] \wurzel[4]{2} [/mm] = 1 * [mm] \wurzel[4]{2} [/mm] + 0 * [mm] \pm [/mm] i* [mm] \wurzel[4]{2} [/mm] + 0* [mm] -\wurzel[4]{2}. [/mm]
Viele Grüße
jacob
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frohe Weihnachten,
da es jetzt 15 Tage keine Antwort gab, versuche ich mich mal.
> Hallo miteinander,
> Meine Frage:
> Sei eine Körpererweiterung [mm]\IQ \subset \IQ(\wurzel[4]{2},i):=L[/mm]
> gegeben.
> Zu bestimmen ist nun
> a) der Erweiterungsgrad [mm][L:\IQ][/mm]
> b) ist zu zeigen dass L ein Zerfallungskörper von [mm]x^4-2 \in \IQ[X][/mm]
> ist.
> c) z.Z [mm]L=\IQ((\wurzel[4]{2}+i)[/mm]
> Beweis zu a) Hier würde ich gerne die Gradformel anwenden
> Also
> [mm][L:\IQ][/mm] = [L: [mm]\IQ \wurzel[4]{2}] [\IQ \wurzel[4]{2}:Q][/mm] Es
> ist klar, dass der Erweiterungsgrad von [mm][\IQ \wurzel[4]{2}:Q][/mm]
> 4 beträgt, da der Grad des Minimalpolynoms 4 ist. Wie
> bestimmt man nun aber den Grad von [L: [mm]\IQ \wurzel[4]{2}]?[/mm]
Zuerst solltest du dir überlegen, ob [mm]i\in\IQ (\sqrt[4]{2})[/mm] gilt. Wenn nicht, dann hättest du als Minimalpolynom ja [mm]x^2+1[/mm] und das ist vom Grad 2.
> Hierzu muss man ja das Minimalpolynom von L über [mm]\IQ \wurzel[4]{2}[/mm]
> bestimmen. Wie macht man das? Beziehungsweise wie sehen
> überhaupt die Elemente aus [mm]\IQ \wurzel[4]{2}[/mm] aus? Wird
[mm]\IQ(\sqrt[4]{2})=\{a+b*\sqrt[4]{2}\; |\; a,b\in\IQ\}[/mm]
> eine Basis dieses Erweiterungskörpers durch die
> Nullstellen des Minimalpolynoms [mm]x^4-2[/mm] gebildet?
Ich würde sagen: Nein für [mm]\IQ(\sqrt{2},\sqrt{3})[/mm] besteht z.B. die Basis aus [mm]1,\sqrt{2},\sqrt{3},\sqrt{6}[/mm]. Wobei [mm]\sqrt{6}[/mm] wohl keine Nullstelle von dem Minialpolynom [mm] $x^2-2$ [/mm] noch von [mm] $x^2-3$ [/mm] ist.
>
> Beweis zu b) Zunächst einmal macht man doch diese
> Körpererweiterung L da das Polynom [mm]x^4-2[/mm] in [mm]\IQ[X][/mm] nur
> reelle Nullstellen besitzt. Deswegen erweitert man diesen
> Körper doch mit dem i oder? Um nun zu zeigen dass L
Erst einmal sind wir in [mm]\IQ[/mm]. Wie kommst du auf [mm]\IR[/mm]? Wir stellen fest, dass das Polynom normiert und irreduzibel (Eisenstein-,Gauß-Kriterium) ist. Es hat keine Nullstellen in [mm]\IQ[/mm]. Deshalb adjungieren wir Nullstellen an [mm]\IQ[/mm].
[mm]L=\IQ (i^0*\sqrt[4]{2},i^1 * \sqrt[4]{2},i^2 *\sqrt[4]{2},i^3 * \sqrt[4]{2})[/mm].
> Zerfällungskörper von [mm]x^4-2[/mm] in [mm]\IQ[X][/mm] ist betrachtet man
> zunächst die Nullstellen von [mm]x^4-2[/mm] diese sind [mm]\pm \wurzel[4]{2}[/mm]
> und [mm]\pm[/mm] i* [mm]\wurzel[4]{2}[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Ist dann der Zerfällungskörper
> von [mm]x^4-2[/mm] schon in [mm]\IQ (\wurzel[4]{2},i)[/mm] enthalten? Wenn
Bei mir hat es gereicht den Zerfällunskörper von [mm]x^4-2[/mm] anzugeben.
> ja warum? Besteht dann eine Basis des Zerfällungskörpers
> aus den Nullstellen von [mm]x^4-2?[/mm] Wenn ja dann würde ja auch
Eine Basis ist grundsätzlich lin. unabh. Bei
[mm]L=\IQ (i^0\sqrt[4]{2},i^1 * \sqrt[4]{2},i^2 *\sqrt[4]{2},i^3 * \sqrt[4]{2})[/mm]
ist das nicht der Fall. Man kann alle Nullstellen durch [mm]i,\sqrt[4]{2}[/mm] darstellen. eine Basis sollte also:
[mm]1,i,\sqrt[4]{2},i*\sqrt[4]{2}[/mm] sein
> sofort folgen dass auch [mm]\IQ(\wurzel[4]{2},i)[/mm] im
> Zerfällungskörper enthalten ist, da [mm]\wurzel[4]{2}[/mm] = 1 *
> [mm]\wurzel[4]{2}[/mm] + 0 * [mm]\pm[/mm] i* [mm]\wurzel[4]{2}[/mm] + 0*
> [mm]-\wurzel[4]{2}.[/mm]
>
> Viele Grüße
> jacob
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