Zerfällungskörper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:01 Sa 09.02.2008 | | Autor: | TTaylor |
| Aufgabe | Sei K ein Körper und f [mm]\in K[x][/mm]
Sei L ein Zerfällungskörper von f über K.
Zeige: Ist f in K[x] irreduzibel, so ist deg f ein Teiler von [L:K]. |
Sei f in K[x] irreduzibel, also unzerlegbar in K[x], d.h. es gibt keine Nullstellen des Polynoms f in K[x].
Also ist f ein Minimalpolynom. Dieses Minimalpolynom hat Nullstellen in f über K.
Dieses Minimalpolynom hat einen Grad, also die höchste Potenz des Polynoms.
Falls man ein Polynom [mm] x²-2=0 [/mm] hat, dann ist Q([mm] \sqrt{2}[/mm] )der Zerfällunskörper dazu.
Für ein Polynom [mm] x^8-1=0 [/mm] ist der Zerfällungskörper Q( [mm] \sqrt{2},i[/mm]).
Daraus erkenne ich, dass der Grad eines solchen Polynoms f ein Teiler von [L:K] ist.
Aber wie beweist man das formal?
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:35 So 10.02.2008 | | Autor: | statler |
Guten Tag!
> Sei K ein Körper und f [mm]\in K[x][/mm]
> Sei L ein Zerfällungskörper von f über K.
> Zeige: Ist f in K[x] irreduzibel, so ist deg f ein Teiler von [L:K].
> Sei f in K[x] irreduzibel, also unzerlegbar in K[x], d.h. es gibt keine Nullstellen des Polynoms f in K[x].
> Also ist f ein Minimalpolynom.
Genau. wenn also [mm] \alpha [/mm] eine Nullstelle von f ist, dann ist [mm] [K(\alpha):K] [/mm] = deg f. Weiter ist natürlich [mm] K(\alpha) \subset [/mm] L. Dann besagt der Gradsatz
[L:K] = [mm] [L:K(\alpha)][K(\alpha):K], [/mm] und das war zu zeigen.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:46 Do 28.02.2008 | | Autor: | bene75 |
Hallo
Habe den Artikel gerade gelesen, soweit alles klar. Jetzt bin ich aber über folgendes gestolpert : Gleiche Angabe, aber [L:K] soll Teiler von n! sein.
Da f irreduzibel ist gibt es ja kein weiteres [mm] \alpha [/mm] ,dass NS von f ist.
Heißt das, dass [mm] [L:K(\alpha)]=1?
[/mm]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:34 Fr 29.02.2008 | | Autor: | statler |
Guten Tag! Und ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Habe den Artikel gerade gelesen, soweit alles klar. Jetzt
> bin ich aber über folgendes gestolpert : Gleiche Angabe,
> aber [L:K] soll Teiler von n! sein.
n soll wohl der Grad von f sein?
> Da f irreduzibel ist gibt es ja kein weiteres [mm]\alpha[/mm] ,das
> NS von f ist.
Das ist in der Form falsch. Nimm z. B. eine ungerade Primzahl p und das Polynom [mm] \bruch{X^{p} - 1}{X - 1}.
[/mm]
> Heißt das, dass [mm][L:K(\alpha)]=1?[/mm]
Nein, das heißt es nicht. Wenn du mit K anfängst, adjungierst du zunächst eine Nullstelle. Dann zerfällt f, aber nicht unbedingt (wie oben) schon in Linearfaktoren. Dann packst du die nächste Nullstelle dazu, und f zerfällt weiter. Irgendwann landest du dann bie L.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
|
|
|
|
