Zerfällungskörper < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:35 Di 15.01.2008 | | Autor: | jumape |
| Aufgabe | Sei [mm] \alpha [/mm] eine Nullstelle von [mm] x^3-3 [/mm] in [mm] \IC\backslash\IR [/mm] und sei L der Zerfällungskörper von [mm] x^3-3 [/mm] über [mm] \IQ[x].
[/mm]
(i) Ist [mm] x^3-3 [/mm] irreduzibel in [mm] \IQ?
[/mm]
(ii) Ist [mm] \IQ(\alpha)/ \IQ [/mm] normal? Ist L/K eine Galoiserweiterung?
(iii) Zeige: [mm] x^3-1 [/mm] zerfällt über L in Linearfaktoren.
(iv) Sei [mm] \IQ\subset [/mm] M [mm] \subset [/mm] L der Zerfällungskörper von [mm] x^3-1. [/mm] Zeige: [mm] [M:\IQ]=2.
[/mm]
(v) Zeige: [L:M]=3. (Hinweis: [mm] \IQ(\alpha)\subset [/mm] L und [mm] [\IQ(\alpha):\IQ]=3, [/mm] somit [mm] [L:\IQ] [/mm] durch 3 teilbar ist....)
(vi) Bestimme [mm] Gal(L/\IQ) [/mm] |
Für die (i) muss ich zeigen dass das Polynom über [mm] \IQ [/mm] keine Nullstellen hat, richtig? Brauche ich dafür irgendwelche besonderen Kriterien? Eisenstein vielleicht? (Wobei ich zugeben muss dass ich das noch nicht so richtig verstanden habe, wann darf man das anwenden und warum?)
Bei den anderen Aufgaben bin ich leider ähnlich ratlos, wie kann ich denn mit etwas umgehen das ich nicht kenne, also dieses [mm] \alpha, [/mm] der Professor hat das zwar vorgemacht, aber ich kann das irgendwie nicht nachvollziehen.
Es wäre nett wenn mir da jemand helfen könnte.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:59 Mi 16.01.2008 | | Autor: | statler |
Guten Morgen!
> Sei [mm]\alpha[/mm] eine Nullstelle von [mm]x^3-3[/mm] in [mm]\IC\backslash\IR[/mm]
> und sei L der Zerfällungskörper von [mm]x^3-3[/mm] über [mm]\IQ[x].[/mm]
> (i) Ist [mm]x^3-3[/mm] irreduzibel in [mm]\IQ?[/mm]
> (ii) Ist [mm]\IQ(\alpha)/ \IQ[/mm] normal? Ist L/K eine
> Galoiserweiterung?
> (iii) Zeige: [mm]x^3-1[/mm] zerfällt über L in Linearfaktoren.
> (iv) Sei [mm]\IQ\subset[/mm] M [mm]\subset[/mm] L der Zerfällungskörper von
> [mm]x^3-1.[/mm] Zeige: [mm][M:\IQ]=2.[/mm]
> (v) Zeige: [L:M]=3. (Hinweis: [mm]\IQ(\alpha)\subset[/mm] L und
> [mm][\IQ(\alpha):\IQ]=3,[/mm] somit [mm][L:\IQ][/mm] durch 3 teilbar
> ist....)
> (vi) Bestimme [mm]Gal(L/\IQ)[/mm]
> Für die (i) muss ich zeigen dass das Polynom über [mm]\IQ[/mm]
> keine Nullstellen hat, richtig? Brauche ich dafür
> irgendwelche besonderen Kriterien? Eisenstein vielleicht?
> (Wobei ich zugeben muss dass ich das noch nicht so richtig
> verstanden habe, wann darf man das anwenden und warum?)
Es geht mit Eisenstein, aber direkt geht es auch: Wenn es über Q zerfällt, dann zerfällt es schon über Z, und weil der Grad 3 ist, muß ein Faktor linear sein. Aber in Z gibt es keine Nullstellen dieses Polynoms.
> Bei den anderen Aufgaben bin ich leider ähnlich ratlos, wie
> kann ich denn mit etwas umgehen das ich nicht kenne, also
> dieses [mm]\alpha,[/mm] der Professor hat das zwar vorgemacht, aber
> ich kann das irgendwie nicht nachvollziehen.
Mach doch mal eine Polynomdivision, indem du das Polynom durch X - [mm] \alpha [/mm] teilst. Das geht auf, weil [mm] \alpha [/mm] ja eine Nullstelle sein soll.
Vielleicht erkennstdu dann die Antwort auf den 1. Teil von (ii). Der 2. Teil von (ii) wird durch (vi) schon mal beantwortet, wenn auch ohne Beweis.
In (iii) kennst du eine Nullstelle, also kannst du das Polynom komplett in Linearfaktoren zerlegen.
(iv) ist dann hoffentlich nicht mehr schwer.
Später sehen wir weiter.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:44 Do 17.01.2008 | | Autor: | jumape |
Nur eine ganz kurze Frage zu der Polynomdivision:
Wenn ich das ausrechne dann bekomme ich ja wieder das [mm] \alpha^3=1 [/mm] sein muss, aber das hatte ich doch vorher schon, wozu macht man das dann mit dem [mm] \alpha?
[/mm]
Oder habe ich irgendetwas falsch gemacht?
Es wäre nett wenn mir irgendjemand mal den Hintergrund von Eisenstein mal erklären könnte. Wann wendet man das an?
Viele Grüße jumape
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:59 So 20.01.2008 | | Autor: | statler |
Hallo!
> Nur eine ganz kurze Frage zu der Polynomdivision:
> Wenn ich das ausrechne dann bekomme ich ja wieder das
> [mm]\alpha^3=1[/mm] sein muss, aber das hatte ich doch vorher schon,
> wozu macht man das dann mit dem [mm]\alpha?[/mm]
> Oder habe ich irgendetwas falsch gemacht?
Wenn [mm] \alpha [/mm] eine Nullstelle ist, dann hast du doch [mm] X^{3} [/mm] - [mm] \alpha [/mm] = (X - [mm] \alpha)*(X^{2} [/mm] + [mm] \alpha*X [/mm] + [mm] \alpha^{2}). [/mm] Die Nullstellen des 2. Faktors kannst du nach der p-q-Formel ausrechnen: [mm] \beta [/mm] = [mm] -\bruch{\alpha}{2} [/mm] + [mm] \bruch{\alpha}{2}*\wurzel{-3} [/mm] und [mm] \gamma [/mm] = [mm] -\bruch{\alpha}{2} [/mm] - [mm] \bruch{\alpha}{2}*\wurzel{-3}. [/mm] Wäre jetzt z. B. [mm] \beta \in \IQ(\alpha), [/mm] dann wäre auch [mm] \wurzel{-3} \in \IQ(\alpha). [/mm] Aber [mm] \IQ(\wurzel{-3}) [/mm] hat den Grad 2 über [mm] \IQ [/mm] und [mm] \IQ(\alpha) [/mm] den Grad 3. Das ist ein Widerspruch zum Gradsatz, also zerfällt [mm] X^{3} [/mm] - 3 nicht in Linearfaktoren über [mm] \IQ(\alpha), [/mm] ist also nicht normal und daher auch nicht galoissch.
> Es wäre nett wenn mir irgendjemand mal den Hintergrund von
> Eisenstein mal erklären könnte. Wann wendet man das an?
Das wendet man ganau dann an, wenn die Voraussetzungen erfüllt sind: alle Koeffizienten ganzzahlig, erster Koeffizient 1, restliche Koeffizienten durch p teilbar, absolutes Glied nicht durch [mm] p^{2} [/mm] teilbar.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:21 So 20.01.2008 | | Autor: | jumape |
Ach so, dankeschön,
ich kann die Polynomdivision aber dann doch auch gleich mit [mm] \wurzel[3]{3} [/mm] ausführen, oder?
dann kriege ic die anderen nullstellen und stelle fest, nein die liegen nicht in [mm] \IQ(\wurzel[3]{3}) [/mm] und weiß damit dass [mm] \IQ(\alpha)/\IQ [/mm] nicht normal ist. Richtig?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:33 Mo 21.01.2008 | | Autor: | statler |
Guten Morgen!
> Ach so, dankeschön,
> ich kann die Polynomdivision aber dann doch auch gleich
> mit [mm]\wurzel[3]{3}[/mm] ausführen, oder?
> dann kriege ic die anderen nullstellen und stelle fest,
> nein die liegen nicht in [mm]\IQ(\wurzel[3]{3})[/mm] und weiß damit
> dass [mm]\IQ(\alpha)/\IQ[/mm] nicht normal ist. Richtig?
Die Gefahr liegt darin, daß man bei [mm] \wurzel[3]{3} [/mm] fast unwillkürlich an die reelle Zahl 1,4422... denkt. Es gibt aber 3 Wurzeln, die algebraisch nicht zu unterscheiden sind.
Viele Grüße
Dieter
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