Zerfällungskörper < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 21:13 Mi 06.12.2006 | | Autor: | shark4 |
| Aufgabe | | Sei $K = [mm] \IF_{3}, \IF_{5}, \IF_{7}$ [/mm] und $L / K$ der Zerfällungskörper von [mm] $X^3 [/mm] - 1$. Bestimmen Sie in allen drei Fällen $[L : K]$. |
Ich weiß zwar, dass [mm] $X^3 [/mm] - 1$ im [mm] $\IF_{3}$ [/mm] die Form [mm] $X^3 [/mm] + 2$ hat aber dann weiß ich auch schon nicht mehr weiter.
Kann mir jemand bitte für den Fall [mm] $\IF_{3}$ [/mm] Vorschläge, Lösungsansätze oder ein paar Tipps geben.
Danke schon mal im voraus!
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(Frage) überfällig | | Datum: | 14:34 Do 07.12.2006 | | Autor: | shark4 |
Das für $K = [mm] \IF_3$ [/mm] hat sich erledigt, ich hab mitbekommen, dass [mm] $X^3 [/mm] - 1 = (X - [mm] 1)^3$ [/mm] und damit $L / K = [mm] \IF_3$ [/mm] ist. [mm] $\Rightarrow [/mm] [L : K] = 1$.
Im Falle $K = [mm] \IF_5$ [/mm] bin ich auch etwas weiter gekommen: [mm] $X^3 [/mm] - 1 = (X - [mm] 1)(X^2 [/mm] + X + 1)$ mit den Nullstellen $1, [mm] -\frac{1}{2} [/mm] + [mm] \frac{1}{2}\sqrt{3}i, -\frac{1}{2} [/mm] - [mm] \frac{1}{2}\sqrt{3}i$. [/mm] Also ist der Zerfällungskörper [mm] $\IF_5\left( \frac{1}{2} , \sqrt{3}, i \right)$.
[/mm]
Was ich aber nun nicht ganz verstehe: das Minimalpolynom für [mm] $\IF_5\left( \frac{1}{2} \right)$ [/mm] ist doch $2X - 1$, also ist [mm] $\left[ \IF_5\left( \frac{1}{2} \right) : \IF_5 \right] [/mm] = 1$, das würde aber doch bedeuten [mm] $\left( \frac{1}{2} \right) \in \IF_5$.
[/mm]
Ich hab sicherlich irgendwo einen Denkfehler, aber wo?
Für $K = [mm] \IF_7$ [/mm] ist sind doch die Nullstellen dieselben wie bei [mm] $\IF_5$, [/mm] oder? Demnach ist doch auch der Zerfällungskörper und der Körpererweiterungsgrad derselbe.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:20 Fr 08.12.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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