Zerfällungskörper < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:05 Mo 05.05.2014 | | Autor: | DrRiese |
| Aufgabe | | Zeigen Sie, dass der Zerfällungskörper von [mm] f(x)=x^{3}+1 \in \IF_{2}[x] [/mm] ein Unterkörper des Zerfällungskörpers von [mm] g(x)=x^{5}+1 \in \IF_{5}[x] [/mm] ist. |
Hallo,
habe diese Aufgabe bearbeitet, bin mir aber unsicher.
Nullstellen von f(x) in [mm] \IF_{2}[x]: \{1\}
[/mm]
[mm] \Rightarrow f(x)=(x+1)(x^{2}+x+1)
[/mm]
Nullstellen von [mm] x^{2}+x+1: \{\zeta, \zeta^{2}\}, [/mm] mit [mm] \zeta:=exp(\bruch{2\pi*i}{3})
[/mm]
[mm] \Rightarrow f(x)=(x+1)(x-\zeta)(x-\zeta^{2}) [/mm] über [mm] \IF_{2}(\zeta)[x]
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] Zerfällungskörper ist [mm] \IF_{2}(\zeta)
[/mm]
Das gleiche nochmal mit g(x):
Nullstellen in [mm] \IF_{2}[x]: \{1\}
[/mm]
[mm] \Rightarrow g(x)=(x+1)(x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1)
[/mm]
Nullstellen von [mm] x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1: \{\xi, \xi^{2}, \xi^{3}, \xi^{4}\}, [/mm] mit [mm] \xi:=exp(\bruch{2\pi*i}{5})
[/mm]
[mm] \Rightarrow g(x)=(x+1)(x-\xi)(x-\xi^{2})(x-\xi^{3})(x-\xi^{4})
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] Zerfällungskörper [mm] \IF_{2}(\xi)
[/mm]
Nun betrachte die Körpererweiterung [mm] \IF_{2}(\xi):\IF_{2}
[/mm]
[mm] \IF_{2}(\xi):=E, \IF_{2}:= [/mm] K
[mm] Aut(E;K)=\{id, \varphi_{1}, \varphi_{2}, \varphi_{3}\}, [/mm] mit
[mm] \varphi_{1}(\xi)=\xi^{2}
[/mm]
[mm] \varphi_{2}(\xi)=\xi^{3}
[/mm]
[mm] \varphi_{3}(\xi)=\xi^{4}
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] Aut(E;K) [mm] \cong \IZ_{4}, [/mm] da zyklisch erzeugt von [mm] \varphi_{1} [/mm] und abelsch
Untergruppen von Aut(E;K):
[mm] U_{1}=\{id\}
[/mm]
[mm] U_{2}=\{id, \varphi_{3}\} \cong \IZ_{2}
[/mm]
Fixkörper:
[mm] Fix(E;Aut(E;K)=\IF_{2}
[/mm]
[mm] Fix(E;U_{1})=\IF_{2}(\xi)
[/mm]
[mm] Fix(E;U_{2})=\IF_{2}(\zeta)
[/mm]
[mm] \Rightarrow \IF_{2}(\zeta) \subset \IF_{2}(\xi)
[/mm]
Wäre das inhaltlich so ok?
LG,
DrRiese
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Hallo,
> Zeigen Sie, dass der Zerfällungskörper von [mm]f(x)=x^{3}+1 \in \IF_{2}[x][/mm]
> ein Unterkörper des Zerfällungskörpers von [mm]g(x)=x^{5}+1 \in \IF_{5}[x][/mm]
> ist.
Da hat sich beim zweiten Körper ein Tippfehler eingeschlichen.
> Hallo,
> habe diese Aufgabe bearbeitet, bin mir aber unsicher.
>
> Nullstellen von f(x) in [mm]\IF_{2}[x]: \{1\}[/mm]
> [mm]\Rightarrow f(x)=(x+1)(x^{2}+x+1)[/mm]
>
> Nullstellen von [mm]x^{2}+x+1: \{\zeta, \zeta^{2}\},[/mm] mit
> [mm]\zeta:=exp(\bruch{2\pi*i}{3})[/mm]
Wir sind nicht in den komplexen Zahlen.
In welchen Körper sollen denn die Nullstellen überhaupt sein?
> [mm]\Rightarrow f(x)=(x+1)(x-\zeta)(x-\zeta^{2})[/mm] über
> [mm]\IF_{2}(\zeta)[x][/mm]
> [mm]\Rightarrow[/mm] Zerfällungskörper ist [mm]\IF_{2}(\zeta)[/mm]
>
> Das gleiche nochmal mit g(x):
> Nullstellen in [mm]\IF_{2}[x]: \{1\}[/mm]
> [mm]\Rightarrow g(x)=(x+1)(x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1)[/mm]
>
> Nullstellen von [mm]x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1: \{\xi, \xi^{2}, \xi^{3}, \xi^{4}\},[/mm]
> mit [mm]\xi:=exp(\bruch{2\pi*i}{5})[/mm]
> [mm]\Rightarrow g(x)=(x+1)(x-\xi)(x-\xi^{2})(x-\xi^{3})(x-\xi^{4})[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] Zerfällungskörper [mm]\IF_{2}(\xi)[/mm]
>
>
> Nun betrachte die Körpererweiterung [mm]\IF_{2}(\xi):\IF_{2}[/mm]
> [mm]\IF_{2}(\xi):=E, \IF_{2}:=[/mm] K
>
> [mm]Aut(E;K)=\{id, \varphi_{1}, \varphi_{2}, \varphi_{3}\},[/mm]
> mit
> [mm]\varphi_{1}(\xi)=\xi^{2}[/mm]
> [mm]\varphi_{2}(\xi)=\xi^{3}[/mm]
> [mm]\varphi_{3}(\xi)=\xi^{4}[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] Aut(E;K) [mm]\cong \IZ_{4},[/mm] da zyklisch erzeugt von
> [mm]\varphi_{1}[/mm] und abelsch
>
> Untergruppen von Aut(E;K):
> [mm]U_{1}=\{id\}[/mm]
> [mm]U_{2}=\{id, \varphi_{3}\} \cong \IZ_{2}[/mm]
>
> Fixkörper:
> [mm]Fix(E;Aut(E;K)=\IF_{2}[/mm]
> [mm]Fix(E;U_{1})=\IF_{2}(\xi)[/mm]
> [mm]Fix(E;U_{2})=\IF_{2}(\zeta)[/mm]
Wie kommst du denn auf die dritte Behauptung? Ich sehe nicht den Ansatz eines Beweises dafür (du tust ja so als wärest du in [mm] $\mathbb [/mm] Q$ statt $ [mm] \mathbb F_2$. [/mm] Dort ist diese Behauptung falsch: Dritte Einheitswurzeln sind keine fünften Einheitswurzeln).
> [mm]\Rightarrow \IF_{2}(\zeta) \subset \IF_{2}(\xi)[/mm]
> Wäre das inhaltlich so ok?
Nein.
> LG,
> DrRiese
Es gibt einen schönen Satz für endliche Körper: $ [mm] \mathbb F_{p^n} \subseteq \mathbb F_{q^m} \Leftrightarrow [/mm] n|m$
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:22 Di 06.05.2014 | | Autor: | DrRiese |
Hey, danke für die Rückmeldung
Also ist für f(x) der Zerfällungskoerper [mm] \IF_{4}, [/mm] denn es gilt f(x)=(x+1)(x+A)(x+B); [mm] \IF_{4}=\{0,1,A,B\}?
[/mm]
Und für g(x) probiere ich [mm] \IF_{8} [/mm] zu konstruieren mit [mm] \IF_{2}[x]/(x^{3}+x+1)
[/mm]
Nur wie stellt man denn z.B. [mm] x^{2}*x^{2}=x^{4} [/mm] mod [mm] x^{3}+x+1 [/mm] dar?
LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:10 Di 06.05.2014 | | Autor: | DrRiese |
OK, ich glaub ich habs.
[mm] \IF_{16} [/mm] ist der Zerfällungskoerper von [mm] x^{16}-x=x(x-1)(x^{2}+x+1)*f*g*h, [/mm] mit
[mm] f=x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1, g=x^{4}+x^{3}+1, h=x^{4}+x+1
[/mm]
Also [mm] \IF_{16} [/mm] Zerfällungskoerper
Nun zeige, dass [mm] \IF_{4} \subset \IF_{16}:
[/mm]
Könnte man schreiben
[mm] \IF_{16}=\{a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+a_{3}x^{3}| a_{i} \in \IF_{2}\}
[/mm]
Dann würde ich anhand der Verknüpfungstabelle zeigen, dass die Unterkörperbeziehung gilt
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> OK, ich glaub ich habs.
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> [mm]\IF_{16}[/mm] ist der Zerfällungskoerper von
> [mm]x^{16}-x=x(x-1)(x^{2}+x+1)*f*g*h,[/mm] mit
> [mm]f=x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1, g=x^{4}+x^{3}+1, h=x^{4}+x+1[/mm]
>
> Also [mm]\IF_{16}[/mm] Zerfällungskoerper
von was ? Ein Körper ist immer ein Zerfällungskörper eines/einer Familie von Polynoms(en). Ein Polynom ist auch keine Ansammlung von x-en, es muss auch geklärt sein aus welchem Ring die Koeffizienten sind.
> Nun zeige, dass [mm]\IF_{4} \subset \IF_{16}:[/mm]
> Könnte man
> schreiben
> [mm]\IF_{16}=\{a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+a_{3}x^{3}| a_{i} \in \IF_{2}\}[/mm]
Nein. Links steht ein Körper, rechts eine Menge, auf der zwar eine kanonische Vektorraumstruktur gegeben ist - wir haben also eine Addition und eine Multiplikation mit Werten aus [mm] $\mathbb F_2$ [/mm] - aber keine Multiplikation der Elemente. Rechts steht also kein Körper.
> Dann würde ich anhand der Verknüpfungstabelle zeigen,
> dass die Unterkörperbeziehung gilt
Verknüpfungstafeln sind zum Beweisen praktisch nutzlos(hier gäb's 16 Zeilen und Spalten). Das ist ein didaktisches Werkzeug zur Veranschaulichung von gruppen/Ringen/Körpern mit sehr wenigen Elementen.
Wenn man von "der" Zerfällungskörper spricht, meint man eine Eindeutigkeit bis Isomorphie. Sprich: Alle möglichen Zerf.körper sind isomorph. (Ausnahme: Man fixiert einen alg. Abschluss. Das macht man gern in Charakteristik 0, sehr selten in den anderen Fällen.)
So ist auch das mit dem Unterkörper zu lesen: Der eine Körper soll isomorph zu einem Unterkörper des anderen sein.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:05 Di 06.05.2014 | | Autor: | DrRiese |
Ich meinte [mm] \IF_{16} [/mm] Zerfällungskoerper von [mm] x^{5}+1
[/mm]
Könnte man vllt sagen: Da [mm] x^{4}-x [/mm] ein Teiler von [mm] x^{16}-x [/mm] ist, und [mm] \IF_{4} [/mm] Zerfällungskoerper von [mm] x^{4}-x [/mm] ist, folgt, dass [mm] \IF_{4} [/mm] auch in [mm] \IF_{16} [/mm] enthalten ist?
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> Ich meinte [mm]\IF_{16}[/mm] Zerfällungskoerper von [mm]x^{5}+1[/mm]
Meine Kritik ist scheinbar nicht richtig angekommen.
[mm] \mathbb F_{16} [/mm] ist der Zerf.körper von [mm] $X^{16}+x,x^5+1 \in \mathbb F_2 [/mm] [X]$; Zu einem Polynom gehört der Grundring der Koeffizienten genauso dazu wie zu einem Körper die Verknüpfungen.
> Könnte man vllt sagen: Da [mm]x^{4}-x[/mm] ein Teiler von [mm]x^{16}-x[/mm]
> ist, und [mm]\IF_{4}[/mm] Zerfällungskoerper von [mm]x^{4}-x[/mm] ist,
> folgt, dass [mm]\IF_{4}[/mm] auch in [mm]\IF_{16}[/mm] enthalten ist?
Kann man. Dann kann man aber auch genausogut den Satz verwenden den ich in der ersten Antwort angesprochen hab.
Ist dir eigentlich klar, dass in Charakteristik 2 u.a [mm] $x^{16}-x=x^{16}+x$ [/mm] und man daher in diesem fall kein - schreibt?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:45 Di 06.05.2014 | | Autor: | DrRiese |
Der Meinung war ich auch, dass bei Charakteristik 2 [mm] x^{n}+x [/mm] geschrieben wird, aber in meinem Buch steht z.B. wieder [mm] x^{n}-x.... [/mm] bei [mm] \IF_{2}[x]
[/mm]
So ganz ist mir glaub ich aber noch nicht klar, warum [mm] \IF_{2}(\zeta) [/mm] falsch war. Da ja in den beiden Polynomen jeweils Kreisteilungspolynome enthalten waren mit den primitiven Einheitswurzeln als Nullstellen. Ist [mm] \IF_{2}(\zeta) [/mm] kein Körper mehr, weil z.B. das additive Inverse von [mm] \zeta [/mm] nicht in [mm] \IF_{2}(\zeta) [/mm] enthalten ist?
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> Der Meinung war ich auch, dass bei Charakteristik 2 [mm]x^{n}+x[/mm]
> geschrieben wird, aber in meinem Buch steht z.B. wieder
> [mm]x^{n}-x....[/mm] bei [mm]\IF_{2}[x][/mm]
Welches Buch ist das denn?
ist ist per se nicht falsch. Nur extrem irreführend.
> So ganz ist mir glaub ich aber noch nicht klar, warum
> [mm]\IF_{2}(\zeta)[/mm] falsch war. Da ja in den beiden Polynomen
> jeweils Kreisteilungspolynome enthalten waren mit den
> primitiven Einheitswurzeln als Nullstellen. Ist
> [mm]\IF_{2}(\zeta)[/mm] kein Körper mehr, weil z.B. das additive
> Inverse von [mm]\zeta[/mm] nicht in [mm]\IF_{2}(\zeta)[/mm] enthalten ist?
Wie willst du [mm] $\zeta$ [/mm] hier definieren? Wie schon einmal gesagt, geht das nicht wie in den komplexen Zahlen. Du hast hier keine Exponentialfunktion wie auf den komplexen Zahlen zur Verfügung.
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> Hey, danke für die Rückmeldung
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> Also ist für f(x) der Zerfällungskoerper [mm]\IF_{4},[/mm] denn es
> gilt f(x)=(x+1)(x+A)(x+B); [mm]\IF_{4}=\{0,1,A,B\}?[/mm]
Auch hier wieder: Links steht eine Körper, rechts eine Menge, dieses mal komplett ohne Zusatzstruktur. Die können nicht einmal vergleichen werden, geschweige denn gleich sein.
> Und für g(x) probiere ich [mm]\IF_{8}[/mm] zu konstruieren mit
> [mm]\IF_{2}[x]/(x^{3}+x+1)[/mm]
Das ist eine gute Idee.
> Nur wie stellt man denn z.B. [mm]x^{2}*x^{2}=x^{4}[/mm] mod
> [mm]x^{3}+x+1[/mm] dar?
[mm] $x^4=x(x^3+x+1)+x^2+x$ [/mm]
> LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:31 Di 06.05.2014 | | Autor: | DrRiese |
Nur hier wäre für mich die Frage, wie man [mm] x^{4} [/mm] mod [mm] x^{3}+x+1 [/mm] darstellen kann..
Also [mm] x^{4}=(x^{3}+x+1)+....
[/mm]
LG
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Schau doch bitte nochmal in die Antwort, das steht bereits dort.
Wenn du das dort nicht lesen kannst rate ich dringend dazu dich nochmal eingehend mit Faktor/Restklassenringen beschäftigen. Das ist eines der grundlegenden Konzepte der Algebra und sollte zumindest halbwegs beherrscht werden wenn man sich mit den weiterführenden Themen beschäftigt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:21 Di 06.05.2014 | | Autor: | DrRiese |
Ok, hab's hingekriegt. Polynomdivision
[mm] (x^{4}) [/mm] : [mm] (x^{3}+x+1)= x+\underbrace{(x^{2}+x)}_{Rest}
[/mm]
[mm] \underline{+(x^{4}+x^{2}+x)}
[/mm]
[mm] x^{2}+x
[/mm]
Also [mm] x^{4} [/mm] mod [mm] (x^{3}+x+1) \equiv x^{2}+x
[/mm]
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