Zentrum von S_{n} < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Zu zeigen:
Für n [mm] \ge [/mm] 3 ist das Zentrum [mm] Z(S_{n}) [/mm] von [mm] S_{n} [/mm] trivial. |
Hallo,
das Zentrum ist definiert als: [mm] Z(S_{n})={g\in S_{n}| \forall h \in S_{n}: gh=hg}
[/mm]
Zu zeigen ist, dass Z trivial ist für n [mm] \ge [/mm] 3, also [mm] Z(S_{n})={id \in S{n}| \forall h \in S_{n}: id*h=h*id, d.h. h=h} [/mm] gilt.
Da ich die Aufgabe etwas seltsam finde, habe ich einfach mal angefangen für ein paar Zahlenbeispiele es nachzuprüfen:
Sei n=3:
[mm] S_{3}: [/mm] {1,2,3} [mm] \to [/mm] {1,2,3}
Ich habe (1 2 3). Wenn ich nun 1 und 2 vertausche, erhalte ich (2 1 3), und das nochmal um 1 und 3 vertauscht, ergibt: (2 3 1).
Wenn ich aber zuerst 1 und vertausche erhalte ich aus (1 2 3) folgendes: ( 3 2 1), und dann vertausche ich 1 und 2, und bekomme (3 1 2), alos ungleich (2 3 1).
Ich habe also festgestellt (auch für n=4), dass ab n=3 die Kommutativität nicht mehr gitl für [mm] S_{n}.
[/mm]
Und beim Test mit n=2 habe ich festgellt:
(1 [mm] 2)\to [/mm] (2 1),d.h. bei 2 Elementen erhalte ich immer das gleiche, egal in welcher Reihenfolge ich vertausche.
Wie zeige ich aber jetzt konkret, dass Z trivial ist,d.h. nur die Identität enthält? Es klingt so selbsverständlich, dass h=h ist, dass ich gar nicht weiß, wie ich das zeigen soll. Vll. mit Induktion? Aber was wäre dann die Ind.basis und der Schritt dazu?
Danke!
Lg, Milka
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:04 Di 14.11.2006 | | Autor: | Hanno |
Hallo Anna!
Dir ist bei der Definition des Zentrums ein entscheidender Fehler unterlaufen. So, wie du das Zentrum definierst, macht es nämlich, wie du selbst bemerkst, keinen Sinn.
Das Zentrum einer Gruppe, nennen wir sie mal $G$, ist definiert als die Menge aller [mm] $g\in [/mm] G$, die mit allen Elementen [mm] $h\in [/mm] G$ kommutieren, für die also [mm] $g\cdot [/mm] h = [mm] h\cdot [/mm] g$ für alle [mm] $h\in [/mm] G$. Formell: $Z(G) := [mm] \{g\in G | \forall h\in H: g\cdot h = h\cdot g\}$. [/mm]
In diesem Falle ist [mm] $G=S_n$ [/mm] die symmetrische Gruppe, die Gruppenoperation ist die Komposition von Abbildungen. Du musst nun also zeigen, dass es nur eine Permutation [mm] $\pi\in S_n$, [/mm] nämlich die Identität, gibt, sodass für alle [mm] $\tau\in S_n$ [/mm] stets [mm] $\tau\circ\pi [/mm] = [mm] \pi\circ\tau$ [/mm] gilt.
Die Aufgabe folgt sofort aus dem folgenden Satz:
Für [mm] $n\geq [/mm] 3$ besitzt [mm] $S_n$ [/mm] keine nichttrivialen Normalteiler.
Kennst du diesen Satz und darfst du ihn verwenden? Wenn ja, so musst du lediglich noch zeigen, dass das Zentrum einer Gruppe ein Normalteiler ist.
Wenn du diesen Satz nicht kennst oder ihn nicht verwenden sollst, so schlage ich zur direkten Lösung folgendes vor:
Schauen wir uns für $n=4$ einmal den Zykel $(1,2,3)$, d.h. die Permutation [mm] $\begin{matrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 3 & 1 & 4\end{matrix}$, [/mm] an. Kann sie mit jeder anderen Permutation aus [mm] $S_4$ [/mm] kommutieren? Nein, denn wir können als Gegenbeispiel z.B. den Zykel $(1,3)$ angeben. Wir haben [mm] $(1,2,3)\circ [/mm] (1,3) = (2,3) [mm] \neq [/mm] (1,2) = [mm] (1,3)\circ [/mm] (1,2,3)$ - daher kann $(1,2,3)$ nicht im Zentrum von [mm] $S_4$ [/mm] liegen. Wie lässt sich das nun verallgemeinern? Für einen beliebigen Zykel der Länge [mm] $\geq [/mm] 3$ können wir völlig analog einen Zykel finden, der mit dem gegebenen Zykel nicht kommutiert.
Aber es ist doch nicht jede Permutation ein Zykel?! Ja genau, das ist richtig, aber jede Permutation lässt sich (bis auf die Reihenfolge der Faktoren) in eindeutiger Weise als ein Produkt disjunkter Zykeln schreiben. Wenn wir eine Permutation als solches Produkt vorliegen haben, dann schnappen wir uns einfach einen der im Produkt auftauchenden Zykel der Länge [mm] $\geq [/mm] 3$ und wählen den entsprechenden "Gegen-Zykel". Da disjunkte Zykel kommutieren, wirst du sehen, dass sich das Problem somit wieder auf das Problem für Zykel der Länge [mm] $\geq [/mm] 3$ zurückführen lässt, welches wir schon gelöst haben.
Für Zykel der Länge $2$, die sog. Transpositionen, musst du dir noch etwas anderes überlegen, genauer ein drittes Element von "außen" einbinden - ein solches muss es geben, da [mm] $n\geq [/mm] 3$. Wie dies genau aussieht, das überlasse ich nun erst einmal dir, oder ich (oder jemand anders) erkläre/erklärt es dir später, nachdem wir das Bisherige klar geworden ist.
Ich hoffe ich konnte dir helfen.
Liebe Grüße,
Hanno
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Hallo Hanno,
danke für deine ausführliche Antwort. Sie hat mir sehr geholfen. Allerdings hab ich manches nicht ganz verstanden.
> In diesem Falle ist [mm]G=S_n[/mm] die symmetrische Gruppe, die
> Gruppenoperation ist die Komposition von Abbildungen. Du
> musst nun also zeigen, dass es nur eine Permutation [mm]\pi\in S_n[/mm],
> nämlich die Identität, gibt, sodass für alle [mm]\tau\in S_n[/mm]
> stets [mm]\tau\circ\pi = \pi\circ\tau[/mm] gilt.
Versteh ich das hier richtig, dass [mm] \pi=id [/mm] ist?
> Die Aufgabe folgt sofort aus dem folgenden Satz:
> Für [mm]n\geq 3[/mm] besitzt [mm]S_n[/mm] keine nichttrivialen Normalteiler.
Wir haben den Satz noch nicht behandelt, und dürfen ihn deshalb auch nicht verwenden.
> Wenn du diesen Satz nicht kennst oder ihn nicht verwenden
> sollst, so schlage ich zur direkten Lösung folgendes vor:
>
> Schauen wir uns für [mm]n=4[/mm] einmal den Zykel [mm](1,2,3)[/mm], d.h. die
> Permutation [mm]\begin{matrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 3 & 1 & 4\end{matrix}[/mm],
> an. Kann sie mit jeder anderen Permutation aus [mm]S_4[/mm]
> kommutieren? Nein, denn wir können als Gegenbeispiel z.B.
> den Zykel [mm](1,3)[/mm] angeben. Wir haben [mm](1,2,3)\circ (1,3) = (2,3) \neq (1,2) = (1,3)\circ (1,2,3)[/mm]
> - daher kann [mm](1,2,3)[/mm] nicht im Zentrum von [mm]S_4[/mm] liegen. Wie
> lässt sich das nun verallgemeinern? Für einen beliebigen
> Zykel der Länge [mm]\geq 3[/mm] können wir völlig analog einen Zykel
> finden, der mit dem gegebenen Zykel nicht kommutiert.
Dein Beispiel konnte ich nachvollziehen. Aber ich versteh nicht ganz, wie man das jetzt allgemein zeigt. Ich kann hier doch den Zykel (1,2,3) hernehmen und für alle n zeigen, weil (1,2,3) ist ja immer enthalten in
1 2 3 4 5...n. Aber das ist ja nur ein Beispiel, welches zeigt, dass wenn n [mm] \ge [/mm] 3 ist, nicht mehr kommutativ ist.
> Aber es ist doch nicht jede Permutation ein Zykel?! Ja
> genau, das ist richtig, aber jede Permutation lässt sich
> (bis auf die Reihenfolge der Faktoren) in eindeutiger Weise
> als ein Produkt disjunkter Zykeln schreiben. Wenn wir eine
> Permutation als solches Produkt vorliegen haben, dann
> schnappen wir uns einfach einen der im Produkt
> auftauchenden Zykel der Länge [mm]\geq 3[/mm] und wählen den
> entsprechenden "Gegen-Zykel". Da disjunkte Zykel
> kommutieren, wirst du sehen, dass sich das Problem somit
> wieder auf das Problem für Zykel der Länge [mm]\geq 3[/mm]
> zurückführen lässt, welches wir schon gelöst haben.
Was ist ein Gegenzykel? Ich habe den Begriff noch nie gehört. Was bedeutet "disjunkte" Zykel? Diese Begriffe wurden bei uns nie erwähnt.
Brauch ich das zur Lösung der Aufgabe? Mir ist nicht ganz klar, was du mir damit aussagen willst.
Ich würde jetzt einfach das Zykel (1,3) hernehmen, und auf (1,2,3,4,...,n) anwenden: Einmal [mm] (1,2,2,3,4,...,n)\circ [/mm] (1,3) [mm] \not= [/mm] (1,3) [mm] \circ [/mm] (1,2,3,4,...,n)
Aber so einfach kann das ja auch nicht sein, oder? 
> Für Zykel der Länge [mm]2[/mm], die sog. Transpositionen, musst du
> dir noch etwas anderes überlegen, genauer ein drittes
> Element von "außen" einbinden - ein solches muss es geben,
> da [mm]n\geq 3[/mm].
Wozu muss ich das noch zeigen für n=2? Ich versteh nicht ganz, wozu ich das zeigen muss im Bezug auf die Aufgabe. Tut mir leid, wenn ich so komische Fragen stelle.
Vielen Dank für deine Hilfe!
Milka
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:00 Do 16.11.2006 | | Autor: | Hanno |
Hallo Anna.
> Versteh ich das hier richtig, dass $ [mm] \pi=id [/mm] $ ist?
Ja. Es gibt nur eine Permutation, die mit jeder anderen Permutation kommutiert, und das ist die Identität. So meinte ich es.
> Wir haben den Satz noch nicht behandelt, und dürfen ihn deshalb auch nicht verwenden.
Ok.
> Dein Beispiel konnte ich nachvollziehen. Aber ich versteh nicht ganz, wie man das jetzt allgemein zeigt. Ich kann hier doch den Zykel (1,2,3) hernehmen und für alle n zeigen, weil (1,2,3) ist ja immer enthalten in
1 2 3 4 5...n. Aber das ist ja nur ein Beispiel, welches zeigt, dass wenn n $ [mm] \ge [/mm] $ 3 ist, nicht mehr kommutativ ist.
Ich weiß nicht recht, was du meinst. Ziel muss es sein, zu zeigen, dass für jede von der Identität verschiedenen Permutation eine andere Permutation existieren muss, sodass beide nicht kommutieren.
> Was ist ein Gegenzykel? Ich habe den Begriff noch nie gehört.
Das war eine kreative Wortschöpfung meinerseits - wir suchen ja für jede Permutation eine Permutation, sodass beide nicht kommutieren. So eine Permutation, hier ein Zykel, habe ich "Gegenzykel" genannt.
> Was bedeutet "disjunkte" Zykel? Diese Begriffe wurden bei uns nie erwähnt.
Zwei Zykel [mm] $(i_1,...,i_n)$ [/mm] und [mm] $(j_1,...,j_m)$ [/mm] heißen disjunkt, wenn
(a) [mm] $\{i_1,...,i_n\}\cap \{j_1,...,j_m\}=\emptyset$
[/mm]
(b) ihre Träger disjunkt sind,
(b) es keinen Punkt gibt, der in beiden Zykeln enthalten ist.
Alle drei Punkte sind hierbei offenbar äquivalent.
Die Zykel bilden eine mächtige Klasse von "einfachen" Permutationen. Mächtig deshalb, weil sich jede Permutation schreiben lässt als Hintereinanderausführung von Zykeln, ja sogar disjunkten Zykeln. Das ist schön, denn so lässt sich das Problem, Gegen-Permutationen zu finden, reduzieren auf den Fall, dass die gegebene Permutation ein Zykel ist - und dieser Fall lässt sich gut behandeln.
> Wozu muss ich das noch zeigen für n=2? Ich versteh nicht ganz, wozu ich das zeigen muss im Bezug auf die Aufgabe. Tut mir leid, wenn ich so komische Fragen stelle.
Ich habe dir anhand ein Beispiel für zwei Zykel gegeben, die nicht miteinander kommutieren. Dieses Beispiel lässt sich problemlos auf beliebige Zykel übertragen, so lange diese die Länge [mm] $\geq [/mm] 3$ haben. Falls in der Darstellung einer Permutation also ein Zykel der Länge [mm] $\geq [/mm] 3$ vorkommt, sind wir fertig. Für den Fall, dass die Permutation in disjunkte Transpositionen, also Zykel der Länge $2$, zerfällt, müssen wir uns noch etwas anderes überlegen. Das meinte ich.
Liebe Grüße,
Hanno
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Hallo,
danke, dass du mir die Begriffe erklärt hast.
Aber mein Problem ist es immer noch, wie ich die Aufgabe genau angehen soll. Du hast mich mit so viel Information und Begriffserklärung "zugetextet", dass ich irgendwie immer noch nicht genau weiß, wie ich den Beweis hier genau machen soll.
Soll ich konkret in den natürlichen Zahlen arbeiten, oder allgemein den Zykel ( [mm] a_{1} a_{2} a_{3} a_{4} a_{5} [/mm] ...) für alle i [mm] \in \IN [/mm] betrachten?
Du schreibst, wenn wir eine Permutation als Produkt vorliegen haben, dann nehmen wir einfach einen Zykel der Länge [mm] \ge [/mm] 3 und wählen den entsprechenden Gegenzykel dazu. Aber meine Frage ist jetzt, welches "Produkt" soll ich mir da am genau anschauen? Ich stell mir darunter folgendes vor:
(1 2 3 4 5 6...n) und wenn wir jetzt z.b. mit (1 2 3) permutieren, dann zeigt es, dass es nicht kommutativ ist, außer wenn es die Identität ist.
Ich versteh einfach immer noch nicht, wie ich hier was hinschreiben muss. Kannst du mir da vll. einen Ansatz geben, damit ich weiß, wie ich das genau allegemein zeigen kann. Man kann hier auch mit Widerspruchsbeweis arbeiten, oder? Ich nehme an, dass [mm] Z(S_{n}) [/mm] nicht trivial ist, d.h. neben der Identität auch noch eine weitere Permutation enthält, sodass g*h=h*g gilt, und zeige dann den Widerspruch,z.b. mit dem von mir angegebenem Beispiel (1 2 3 4 5... n). Oder geht das hier nicht?
Ich würd mich freuen, wenn ich einen Hinweis drauf bekomm, wie ich den Ansatz hier machen soll.
Danke!
Milka
Vielen Dank!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:20 Mi 22.11.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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Die [mm] S_{n} [/mm] besitzt für [mm] n\ge3 [/mm] sehr wohl einen nicht-trivialen Normalteiler, nämlich die [mm] A_{n}!
[/mm]
Wo willst Du denn den von Dir genannten Satz gelesen haben? Bzw. welcher Prof verzapft denn so einen Mist?
Entschuldige bitte meinen harschen Ton, aber einen falschen Satz kann ich einfach nicht so stehen lassen, als ob er richtig wäre.
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Hallo,
Hast du eine Idee, wie man die Aufgabe sonst lösen könnte? Es bezieht sich doch hier auf das Zentrum von [mm] S_{n}, [/mm] also [mm] Z(S_{n}), [/mm] ich denke mal, Hanno meint das auch so, obwohl er es anders hingeschrieben hat...
Die Gruppe der [mm] \mathcal{A}_{n}={\sigma gerade |\sigma \in S_{n}} [/mm] ist doch Normalteiler als [mm] ker(S_{n})= \mathcal{A}_{n}.
[/mm]
Gruß, Milka
P.S. "Wo willst Du denn den von Dir genannten Satz gelesen haben? Bzw. welcher Prof verzapft denn so einen Mist?"
[mm] \to [/mm] Man kann es auch freundlicher formulieren...
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Sorry, hab meinen Text schon etwas modifiziert (siehe dort). Wenn falsche mathematische Sätze aufgestellt und aus voller Brust als richtig hingestellt werden, dann kann mir schon mal der Ton daneben gehen, um es milde auszudrücken. ;-p
So, nun zu der Aufgabe:
Wie irgendwo sicher schon richtig erwähnt, mußt Du zeigen, daß für jede Permutation [mm] \pi \in S_{n}\setminus\{id\} [/mm] eine Permutation, nennen wir sie [mm] \psi, [/mm] ebenfalls ungleich der Identität, existiert derart, daß [mm] \pi\circ\psi \not= \psi\circ\pi [/mm] gilt.
Für den Fall einer Transposition kannst Du wegen [mm] n\ge3 [/mm] eine weitere, davon verschiedene Transposition finden, sei die eine meinetwegen (i j), die andere (j k), i,j,k paarweise verschieden, und zeigen, daß diese beiden nun nicht kommutieren.
Für den allgemeinen Fall würde ich sagen, daß man die Tatsache ausnutzen kann, daß jede Permutation als Produkt von Zyklen mit disjunkten Trägern geschrieben werden kann.
Weiterhin ist wichtig, daß für jede Permutation [mm] \pi [/mm] und jeden Zyklus [mm] (a_{1} [/mm] ... [mm] a_{k}) [/mm] mit k, [mm] a_{i} \in \{1, ..., n\} [/mm] für alle 1 [mm] \le [/mm] i [mm] \le [/mm] k und alle [mm] a_{i} [/mm] paarweise verschieden gilt
[mm] \pi\circ(a_{1} [/mm] ... [mm] a_{k})\circ\pi^{-1} [/mm] = [mm] (\pi(a_{1} [/mm] ... [mm] \pi(a_{k})) [/mm] .
Ausserdem kannst Du zwischen zwei Zyklen immer die Identität einfügen, d.h. [mm] \pi [/mm] und sein Inverses, halt in der notwendigen Reihenfolge.
Sorry, aber das mit dieser Formelsprache ist schon sehr fitzelig und mühsam, und in diesem Fall echt aufwändig. Falls Du an einer Komplettlösung interessiert bist und sie hier nicht bekommen (haben) solltest, schicke mir bitte eine EMail an aktg Klammeraffe gmx Pünktchen net .
Bin am Dienstag nach der Funktionalanalysis, also so ab 11:15 Uhr, sowieso noch da, um die Lösung ins Reine zu schreiben bzw. zumindest einer Mitstudentin von mir zu erklären.
Ich hoffe, ich konnte Dir wenigstens ein bißchen helfen.
Beste Grüße,
Alex
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:34 So 19.11.2006 | | Autor: | Hanno |
Hallo Alex!
Danke für deine Korrektur, du hast natürlich recht. Da habe ich an die [mm] $A_n$ [/mm] gedacht und nicht an die [mm] $S_n$.
[/mm]
An dem anderen Lösungsvorschlag ändert das ja nichts.
Liebe Grüße,
Hanno
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