Zentraler Grenzwertsatz < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:48 Do 13.01.2011 | | Autor: | janisE |
| Aufgabe | Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses A sei gleich p. Es werden n unabh. Versuche durchgeführt. X/n sei die relative Häufigkeit von A in dieser Versuchsreihe. Beantworten Sie folgenden Fragen mit der durch den ZGWS gegebenen Approximation der Binomialverteilung
a)
Sei p = 0.3 und n = 1800. Wie groß ist P (0.29 <= X/n <= 0.33)?
b)
Sei p = 0.375. Wie groß muss n sein, damit P (|X/n − p| <= 0.001) >= 0.995 ist?
c)
Sei p = 3/5 und n = 1400. Wie groß muss e gewählt werden, damit P (|X/n−p| < e) >= 0.99 ist?
d)
Sei nun n = 7600. F+r welche Werte von p wird P(|X/n|<0.01)>=0.95? |
Hallo!
Irgendwie komme ich mit der Aufgabe nicht klar. Zum Verständnis: Der Zentrale Grenzwertsatz besagt soweit ich es verstanden habe, dass die Summe unabhängiger Zufallsvariablen näherungsweise normalverteilt ist. Richtig?
Doch wie rechne ich mit dieser Information die Aufgaben? Könnt ihr mir bitte helfen und den richtigen Weg aufzeigen?
Vielen Dank und noch einen schönen Abend!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:17 Do 13.01.2011 | | Autor: | Walde |
Hi JanisE,
es werden ja n unabh. Versuche durchgeführt. Seien [mm] X_i=\begin{cases} 1, & \mbox{wenn A bei der i-ten Durchführung eingetreten ist} \\ 0, & \mbox{wenn nicht} \end{cases}, [/mm] i=1...n Zufallsvariable. Diese sind bernoulliverteilt mit [mm] P(X_i=1)=P(A)=p [/mm] mit [mm] E(X_i)=p [/mm] und [mm] Var(X_i)=p(1-p).
[/mm]
Einerseits ist ihre Summe [mm] X=X_1+\cdots+X_n [/mm] binomialverteilt mit Paramtern n und p und zählt, wie oft das Ereignis A bei n Durchführungen eingetreten ist.
Andererseits, gilt nach dem ZGWS für die Teilsumme [mm] $X_1+\cdots+X_n$ [/mm] einer Folge [mm] X_1,X_2,X_3,\cdots [/mm] von iid ZVen, mit [mm] \mu=E(X_i) [/mm] und [mm] \sigma=\wurzel{Var(X_i)}:
[/mm]
[mm] P(\bruch{X_1+\cdots+X_n-n\mu}{\sigma\wurzel{n}}\le z)\approx\Phi(z)
[/mm]
Und man kann Umformen, [mm] \bruch{X_1+\cdots X_n-n\mu}{\sigma\wurzel{n}}=\bruch{X-n\mu}{\sigma\wurzel{n}}=\wurzel{n}\bruch{\bruch{X}{n}-\mu}{\sigma}, [/mm] wenn man im Zähler ein n ausklammert und [mm] \wurzel{n} [/mm] kürzt.
Was heisst das nun für die Aufgabe? Wenn du etwas in der Form [mm] $P(\bruch{X}{n}\le [/mm] k)$ hast, musst du es auf die Form von [mm] P(\wurzel{n}\bruch{\bruch{X}{n}-\mu}{\sigma}\le \wurzel{n}\bruch{k-\mu}{\sigma}) [/mm] bringen, dann kannst du die W'keit mit der Std.normalvert. ausrechnen.
LG walde
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