Zentraler Grenzwertsatz < Wahrscheinlichkeit < Stochastik < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:14 Do 11.12.2008 | | Autor: | Nataliee |
| Aufgabe | (Macht entschlossener Minderheiten)
An einer Wahl zwischen den beiden Kandidaten A und B nehmen 1000000 Wähler teil. 2000 Wähler stimmen geschlossen für Kandidat A. Die übrigen 998000 Wähler sind mehr oder weniger unentschlossen und treffen ihre
Entscheidung unabhängig voneinander durch Werfen einer fairen Münze. Bestimmen Sie mittels des zentralen Grenzwertsatzes approximativ die Wahrscheinlichkeit für einen Sieg von Kandidat A. |
Hallo,
habe irgendwo ein Fehler in meiner Aufgabe.
Hoffe ihr könnt mir helfen.
Wir haben
1 000 000 Wähler
2 000 stimmen für Kandidat A
mit [mm] E(X)=998000*\bruch{1}{2}=499000 ,Var(x)=E(X)*(1-\bruch{1}{2})=249500
[/mm]
Wir Definieren A siegt falls
P(500 001 <=A<=1 000 000),
=P(A<=1 000 000)-P(A<=500 000 )
[mm] \approx_{zgws} \Phi(\bruch{ 1 000 000 - 499 000}{\wurzel{249 500}})-\Phi(\bruch{500 000 - 499 000}{\wurzel{249 500}})
[/mm]
= [mm] \Phi(\bruch{ 501 000}{499,5})-\Phi(\bruch{1 000}{499,5})
[/mm]
[mm] =\Phi(1 003)-\Phi(2,002)
[/mm]
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Hallo Natalie
> (Macht entschlossener Minderheiten)
> An einer Wahl zwischen den beiden Kandidaten A und B
> nehmen 1000000 Wähler teil. 2000 Wähler stimmen geschlossen
> für Kandidat A. Die übrigen 998000 Wähler sind mehr oder
> weniger unentschlossen und treffen ihre
> Entscheidung unabhängig voneinander durch Werfen einer
> fairen Münze. Bestimmen Sie mittels des zentralen
> Grenzwertsatzes approximativ die Wahrscheinlichkeit für
> einen Sieg von Kandidat A.
> Wir haben
> 1 000 000 Wähler
> 2 000 Stimmen für Kandidat A
>
> mit [mm]E(X)=998000*\bruch{1}{2}=499000[/mm]
> [mm]Var(X)=E(X)*(1-\bruch{1}{2})=249500[/mm]
Bei den bisherigen Formeln sind die 2000 festen A-Wähler
noch nicht mitgerechnet. Nehmen wir sie noch dazu, haben
wir für die Anzahl der Stimmen für A den Erwartungswert
501'000 und eine Standardabweichung [mm] \sigma [/mm] .
Die Wahrscheinlichkeit für einen Sieg von A ist
$\ P(Stimmenzahl > [mm] 500'000)\approx \integral_{-\bruch{1000}{\sigma}}^{\infty}\varphi(x)\ dx=1-\Phi(-\bruch{1000}{\sigma})$
[/mm]
wobei [mm] \varphi [/mm] die Dichtefunktion und [mm] \Phi [/mm] die Verteilungsfunktion
der Standard-Normalverteilung ist.
Gruß al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:13 Do 11.12.2008 | | Autor: | Nataliee |
Hallo Al-Chwarizmi ,
ich hab's soweit verstanden.
mit [mm]E(X)=998'000*\bruch{1}{2}+2000=501'000[/mm]
[mm]Var(X)=E(X)*(1-\bruch{1}{2})=250'500[/mm]
[mm] \sigma =\wurzel{V(X)}\approx [/mm] 500,5
> Die Wahrscheinlichkeit für einen Sieg von A ist
>
> [mm]\ P(Stimmenzahl > 500'000)\approx \integral_{-\bruch{1000}{\sigma}}^{\infty}\varphi(x)\ dx=1-\Phi(-\bruch{1000}{\sigma})[/mm]
>
> wobei [mm]\varphi[/mm] die Dichtefunktion und [mm]\Phi[/mm] die
> Verteilungsfunktion der Standard-Normalverteilung ist.
P(Stimmenzahl > [mm] 500'000)\approx \integral_{-\bruch{1000}{\sigma}}^{\infty}\varphi(x)\ [/mm] dx
[mm] =1-\Phi(-\bruch{1000}{\sigma})
[/mm]
[mm] =1-(1-\Phi(\bruch{1000}{500,5}))
[/mm]
[mm] =1-1+\Phi(1,998)
[/mm]
=0,97725
Kann das so hoch sein?
schönen Gruß
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> P(A gewinnt) = 0,97725
> Kann das so hoch sein?
Ich habe dasselbe erhalten und auch gestaunt !
Es ist aber offenbar genau der Sinn dieser Aufgabe,
die Leute zum Staunen zu bringen ...
Vielleicht bestätigt ja noch jemand, dass wir
keinen Rechenfehler gemacht haben.
Gruß  al-Chwarizmi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:12 Do 11.12.2008 | | Autor: | Nataliee |
OK :) dann wird's wohl Stimmen Danke für dein Tip.
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