Zentraler Grenzwertsatz < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:44 Mo 07.07.2014 | | Autor: | Fry |
| Aufgabe | Gegeben sei eine Folge [mm](X_n)_n[/mm] von unabhängigen Zufallsvariablen mit [mm]P(X_n=n^\lambda)=\frac{1}{2}=P(X_n=-n^\lambda)[/mm] mit festem [mm]\lambda\in\mathbb R[/mm].
Zu zeigen: für [mm]\lambda\ge -\frac{1}{2}[/mm] gilt der Zentrale Grenzwertsatz.
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Hallo zusammen,
ich versuche folgende Aufgabe aus dem Bauer WT-Buch zu lösen.
als Tipp ist gegeben, dass für [mm]s_n^2:=\sum_{i=1}^{n}Var(X_i)[/mm] und für [mm] $\lambda\ge -\frac{1}{2}$ [/mm] gilt:
[mm]s^2_n\ge \int_{1}^{n+1}x^{2\lambda}dx[/mm] für [mm]\lambda\le 0[/mm] und [mm]s_n^2\ge \int_{1}^{n}x^{2\lambda}dx[/mm] für [mm]\lambda>0[/mm].
(Woher kommen diesen die Ungleichungen, ich hab an das Integralvergleichskriterium gedacht, aber irgendwie passt das nicht (http://de.wikipedia.org/wiki/Integralkriterium)
Um die Aussage zu zeigen, möchte ich die Lindeberg-Bedingung überprüfen, d.h.
dass [mm] \lim_{n\rightarrow\infty} \frac{1}{s^2_n}\sum_{k=1}^{n}E[X^2_k\cdot 1_{\{|X_k|>\varepsilon s_n\}}]=0[/mm] für alle [mm]\varepsilon>0[/mm].
Dazu folgende Überlegungen:
[mm]E(X_n)=0[/mm] und [mm]Var(X_n)=n^{2\lambda}[/mm]
[mm]s^2_n=\sum_{k=1}^{n}k^{2\lambda}[/mm]
[mm]E[X^2_k\cdot 1_{\{|X_k|>\varepsilon s_n\}}]=0*P(|X_k|\le \varepsilon s_n)+k^{2\lambda}*P(|X_k|>\varepsilon s_n)[/mm]
[mm]P(|X_k|>\varepsilon s_n)=0[/mm], falls [mm]%255Cvarepsilon*s_n%255Cge%2520k%255E%257B%255Clambda%257D[/mm][mm] \varepsilon*s_n\ge k^{\lambda}
[/mm]
und = 1, falls [mm]\varepsilon*s_n< k^{\lambda}[/mm]
Also irgendwie hab ich keine Ahnung, wie ich den Tipp verwenden soll.
Hätte naiverweise einfach gesagt, dass, da die Folge [mm]s_n[/mm] gegen unendlich aufsteigt, die Folge der [mm]A_n:=\{|X_k|>\varepsilon s_n\}[/mm] gegen die leere Menge konvergiert und somit auf aufgrund des Satzes von der monotonen Konvergenz der Erwartungswert gegen 0 konvergiert.
Würde mich freuen, wenn ihr mir da weiterhelfen könntet!
Danke!
Lg,
Fry
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Hiho,
den Hinweis kann man, denke ich, einfach durch Nachrechnen beider Seiten beweisen.
Aber braucht man den?
[mm] $|X_n| [/mm] > [mm] \varepsilon s_n \;\gdw\; X_n^2 [/mm] > [mm] \varepsilon^2 s_n^2$ \;\gdw\; n^{2\lambda} [/mm] > [mm] \varepsilon^2 s_n^2$
[/mm]
Nun steht da für [mm] $\lambda [/mm] < 0$ links etwas, dass gegen Null geht und rechts etwas größeres als die harmonische Reihe, also etwas divergentes, ergo gibt es ein [mm] n_0 [/mm] so dass [mm] $n^{2\lambda} \le \varepsilon^2 s_n^2$ [/mm] für [mm] $n\ge n_0$
[/mm]
Für [mm] $\lambda [/mm] > 0$ wächst [mm] s_n^2 [/mm] asymptotisch wie [mm] n^{2\lambda +1} [/mm] also gibt es auch hier ein [mm] n_0 [/mm] so dass [mm] $n^{2\lambda} \le \varepsilon^2 s_n^2$
[/mm]
Damit ist beide Male die Summe auf jeden Fall endlich und damit beschränkt, d.h. es gilt $ [mm] \lim_{n\rightarrow\infty} \frac{1}{s^2_n}\sum_{k=1}^{n}E[X^2_k\cdot 1_{\{|X_k|>\varepsilon s_n\}}]=0 [/mm] $
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:04 Di 08.07.2014 | | Autor: | Fry |
Supi,
vielen Dank, Gono :)
LG
Fry
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