Zeit - Volumen - Drehung < Sonstiges < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | In ein Gefäß mit quadratischer Grundfläche (1 Meter mal 1 Meter) und der Höhe h (in Metern) fallen pro Stunde r Liter Regen.
Frage a): Nach welcher Zeit t (in Stunden) ist das Gefäß voll?
Das Gefäß neigt sich in der Zeit d (in Stunden) um 90°.
Frage b):
Wie lautet nun die Formel für die Zeit t (in Stunden), nach der die maximale Regenmenge in dem Gefäß ist?
|
Zu a) ist die Formel recht einfach zu finden:
Man ermittelt das Fassungsvermögen (Volumen) des Gefäßes und dividiert dieses durch die stündliche Füllmenge r
Somit t= [mm] \bruch{1000*h}{r}
[/mm]
Bei b) wird es schwierig. Da wüsste ich nicht, wie ich das berechnen sollte.
Die Größe der verbliebenen Öffnung ist zu berücksichtigen.
Mit jeder weiteren Sekunde kommt weniger Regen in das Gefäß (wie viel weniger ??)
Und die pro Sekunde anfallende Regenmenge wird per Integral addiert.
Ein weiteres Problem liegt darin, dass sich bei langsamem Dreh ein anderes Bild für das Wasser ergibt als bei schnellem Dreh (Viereck bzw. Dreieck).
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: gif) [nicht öffentlich]
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:43 Mi 10.06.2009 | | Autor: | reverend |
Hallo Ralph,
schöne Aufgabe. Hast Du die (wieder) selbst gestellt?
Zwei Angaben fehlen für die Lösung von Aufgabe b):
1) die Drehachse des Gefäßes. Ich nehme an, sie soll waagerecht liegen und parallel zu einer der Quaderkanten? Sonst wird die Lösung noch mühsamer...
2) die Höhe des Gefäßes. Sie ist für die Bestimmung des Überlaufzeitpunktes nötig.
Die Wanddicke ist eigentlich auch nötig, soll aber gewiss idealisiert zu Null werden.
Auch die Ausgangsstellung muss klar sein, aber auch hier habe ich eine nahe liegende Annahme.
Ansonsten bin ich gerade unterwegs ins Bett - nach fast 16 Stunden Arbeit heute und frühem Beginn morgen will ich mir nicht noch den Kopf über drehbare Regenauffangbehälter zermartern. 
Trotzdem: nette Idee.
Gute Nacht,
reverend
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 02:03 Mi 10.06.2009 | | Autor: | rabilein1 |
> Hast Du die Aufgabe (wieder) selbst gestellt?
Ja. Die Idee kam mir, als ich ein Glas Wasser auskippte.
Da dachte ich: Wenn ich Wasser von oben einfülle und das Glas neige, dann muss doch irgendwo der Punkt sein, wo das Wasser wieder rausfließt...
> Zwei Angaben fehlen für die Lösung von Aufgabe b):
> 1) die Drehachse des Gefäßes.
Siehe Skizze (Querschnitt des Gefäßes).
Das Gefäß bleibt auf einer Kante stehen und neigt sich, bis bei 90° die Öffnung links ist.
> 2) die Höhe des Gefäßes. Sie ist für die Bestimmung des
> Überlaufzeitpunktes nötig.
Das ist die Höhe h (eine Variable, die in die Formel einfließen muss)
> Die Wanddicke ist eigentlich auch nötig, soll aber gewiss
> idealisiert zu Null werden.
So ist es.
> Auch die Ausgangsstellung muss klar sein, aber auch hier
> habe ich eine nahe liegende Annahme.
Am Anfang (bei 0°) ist die Öffnung oben.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:44 Mi 10.06.2009 | | Autor: | rabilein1 |
Um mich der Lösung asymptotisch zu nähern, habe ich in mühevoller Kleinarbeit einige Formeln entwickelt, die die Füllmenge (Volumen V) in Abhängigkeit vom Kippwinkel [mm] \alpha [/mm] und der Höhe h des Gefäßes beschreiben.
Der Einfachheit halber sei die Grundfläche des Gefäßes 1 Meter mal 1 Meter (siehe ursprüngliche Aufgabe)
[Dateianhang nicht öffentlich]
Die Öffnung, in die es rein regnet, ist f = cos [mm] \alpha
[/mm]
Für h [mm] \le [/mm] tan [mm] \alpha [/mm] ergibt sich für das Wasser ein Dreieck.
Die Wassermenge ist dann V = [mm] \bruch{h^{2}}{2*tan \alpha}
[/mm]
Für h > tan [mm] \alpha [/mm] ergibt sich für das Wasser ein Viereck
Die Wassermenge ist dann V = h - [mm] \bruch{1}{2*tan(90° - \alpha)}
[/mm]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: gif) [nicht öffentlich]
|
|
|
| |
|
> In ein Gefäß mit quadratischer Grundfläche (1 Meter mal 1
> Meter) und der Höhe h (in Metern) fallen pro Stunde r Liter
> Regen.
>
> Frage a): Nach welcher Zeit t (in Stunden) ist das Gefäß
> voll?
>
>
> Das Gefäß neigt sich in der Zeit d (in Stunden) um 90°.
>
> Frage b):
> Wie lautet nun die Formel für die Zeit t (in Stunden),
> nach der die maximale Regenmenge in dem Gefäß ist?
>
> Zu a) ist die Formel recht einfach zu finden:
> Man ermittelt das Fassungsvermögen (Volumen) des Gefäßes
> und dividiert dieses durch die stündliche Füllmenge r
>
> Somit t= [mm]\bruch{1000*h}{r}[/mm]
>
>
> Bei b) wird es schwierig. Da wüsste ich nicht, wie ich das
> berechnen sollte.
> Die Größe der verbliebenen Öffnung ist zu berücksichtigen.
> Mit jeder weiteren Sekunde kommt weniger Regen in das Gefäß
> (wie viel weniger ??)
> Und die pro Sekunde anfallende Regenmenge wird per
> Integral addiert.
>
> Ein weiteres Problem liegt darin, dass sich bei langsamem
> Dreh ein anderes Bild für das Wasser ergibt als bei
> schnellem Dreh (Viereck bzw. Dreieck).
>
> [Dateianhang nicht öffentlich]
>
Hallo zusammen,
da müssten wohl zuerst ein paar Bezeichnungen her.
Ich würde folgende vorschlagen:
Ausmasse des quaderförmigen Gefässes: [mm] a\times{a}\times{h}
[/mm]
(Grundkantenlänge a, Höhe h)
Neigungswinkel zum Zeitpunkt t: [mm] \alpha(t)=\omega*t
[/mm]
[mm] \omega [/mm] ist die Winkelgeschwindigkeit des Kippvorgangs;
mit deinen schon angegebenen Bezeichnungen wäre
[mm] \omega=\bruch{90°}{d}=\bruch{\pi}{2*d}
[/mm]
Wasservolumen im Behälter: V(t)
Regenintensität: r=Regenwasser-Volumen pro Zeiteinheit
und horizontale Flächeneinheit
Die Öffnung, durch welche Regen in den Behälter
fällt, hat den (horizontal gemessenen) Flächeninhalt
a*u, wobei [mm] u=a*cos(\alpha). [/mm] Damit ergibt sich eine DGL
für das Volumen V(t):
[mm] $\dot{V}(t)=r*a*u=r*a^2*cos(\alpha)=r*a^2*cos(\omega*t)$
[/mm]
Diese DGL gilt aber nur so lange, als noch kein
Wasser wieder ausfliesst. Letzteres ist ab dem
Zeitpunkt [mm] t_k [/mm] der Fall, wo das Wasser die Kante k
erreicht hat, über welche es ausfliessen kann.
Für [mm] t>t_k [/mm] hat der Regen keinen Einfluss mehr
auf das Volumen im Behälter, da er sofort
abfliesst, zusammen mit solchem Wasser, das
vorher im Behälter angesammelt worden ist.
[mm] t_k [/mm] ist also der Zeitpunkt, zu welchem V(t)
maximal ist. Die Kurve V=V(t) wird an dieser
Stelle einen Knick haben, also keine waagrechte
Tangente.
Ausser dem Zeitpunkt [mm] t_k [/mm] ist ein weiterer Zeit-
punkt [mm] t_b [/mm] wichtig, nämlich der, zu welchem der
Wasserspiegel die zu k parallele, diagonal gegen-
über liegende Kante b der Bodenfläche erreicht.
In die geometrischen Betrachtungen zu den
Flächen- und Volumenberechnungen habe ich
mich bisher nicht eingelassen.
LG Al
|
|
|
|
