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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:55 Sa 20.11.2004 | | Autor: | AT-Colt |
Hallo Leute,
ich sitze hier vor einer Aufgabe und habe das Gefühl, sie fast gelöst zu haben, aber der letzte Schritt will und will mir einfach nicht einfallen.
Aufgabe (Skalierung und Kondition):
Sei $A [mm] \in \IR^{n\timesn}$ [/mm] eine invertierbare, zeilenweise skalierte Matrix und $D [mm] \in \IR^{n\timesn}$ [/mm] eine Diagonalmatrix. Zeige, dass dann gilt:
[mm] $cond_\infty(DA) \ge cond_\infty(A)$
[/mm]
Welchen Effekt hat damit das zeilenweise Skalieren einer Matrix?
Bemerkung:
Eine Matrix heisst zeilenweise skaliert, wenn die Summe über die Beträge einer beliebigen Zeile 1 ergibt.
[mm] $||.||_\infty$ [/mm] beschreibt das Maximum aller Summen über die Beträge einer Zeile.
Lösungsansatz:
Es gelten:
[mm] $cond_\infty(A) [/mm] = [mm] ||A^{-1}||_\infty ||A||_\infty [/mm] = [mm] ||A^{-1}||_\infty [/mm] = [mm] \max_{1 \le i \le n} \{\summe_{j=1}^{n} |a_{ij}^{inv}|\}$
[/mm]
und
[mm] $cond_\infty(DA) [/mm] = [mm] ||A^{-1}D^{-1}||_\infty*\max_{1 \le i \le n} \{|d_{ii}|\} [/mm] = [mm] \max_{1 \le i \le n} \{\bruch{1}{|d_{ii}|}\summe_{j=1}^{n}|a_{ij}^{inv}|\}*\max_{1 \le i \le n} \{|d_{ii}|\}$
[/mm]
Zwischen diesen beiden Ausdrücken muss ich die oben beschriebene Ungleichung zeigen, auf den ersten Blick sieht das nicht so schwer aus, aber ein genauer Beweis fällt mir nicht ein :/
Die Skalierung einer Matrix verbessert unter Umständen die Kondition eines linearen Gleichungssystems und trägt so zur Stabilisierung des Algorithmus bei. Verschlechtern kann man die Kondition des Problems so nicht.
Dabei kann eine Diagonalmatrix D als Skalierungsmatrix angesehen werden.
greetz
AT-Colt
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Hallo AT-Colt,
> Sei [mm]A \in \IR^{n\timesn}[/mm] eine invertierbare, zeilenweise
> skalierte Matrix und [mm]D \in \IR^{n\timesn}[/mm] eine
> Diagonalmatrix. Zeige, dass dann gilt:
> [mm]cond_\infty(DA) \ge cond_\infty(A)[/mm]
>
> Lösungsansatz:
>
> Es gelten:
> [mm]cond_\infty(A) = ||A^{-1}||_\infty ||A||_\infty = ||A^{-1}||_\infty = \max_{1 \le i \le n} \{\summe_{j=1}^{n} |a_{ij}^{inv}|\}[/mm]
>
> und
> [mm]cond_\infty(DA) = ||A^{-1}D^{-1}||_\infty*\max_{1 \le i \le n} \{|d_{ii}|\} = \max_{1 \le i \le n} \{\bruch{1}{|d_{ii}|}\summe_{j=1}^{n}|a_{ij}^{inv}|\}*\max_{1 \le i \le n} \{|d_{ii}|\}[/mm]
>
Hier ist imho ein Fehler drin
[mm]cond_\infty(DA) = ||A^{-1}D^{-1}||_\infty*\max_{1 \le i \le n} \{|d_{ii}|\} = \max_{1 \le i \le n} \{\summe_{j=1}^{n}\bruch{|a_{ij}^{inv}|}{|d_{jj}|}\}*\max_{1 \le i \le n} \{|d_{ii}|\}[/mm]
Dies kann man folgendermaßen abschätzen:
[mm]\max_{1 \le i \le n} \{\summe_{j=1}^{n}\bruch{|a_{ij}^{inv}|}{|d_{jj}|}\}*\max_{1 \le i \le n} \{|d_{ii}|\}\ge \max_{1 \le i \le n} \{ \summe_{j=1}^{n}\bruch{|a_{ij}^{inv}|}{\max_{1 \le k \le n}|d_{kk}|}\}*\max_{1 \le i \le n} \{|d_{ii}|\}[/mm]
Alles klar?
gruß
mathemaduenn
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