Zeilenumformunegn und Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:43 Mo 12.06.2006 | | Autor: | maggi20 |
| Aufgabe | | Es sei A eine n mal n Matrix. Eine Matrix, die wir aus naheliegenden Gründen mit A^minus1 bezeichnen heisst die zu A inverse Matrix, wenn A mal A^minus1=E. Man kann zeigen, dass es im Falle A^minus1 auch nur eine solche Matrix gibt und dass dann auch A^minus1 mal A=E gelten muss. Man wende nun irgendeine elementare Zeilenoperation auf A und dieselbe Operation simultan auf E an, wobei aus A die Matrix B, aus E die Matrix C entstehen möge. Zeigen Sie BmalA^minus1=C. |
Hallo ihr lieben Leute da draussen!
Ich sitze schon stundenlang an dieser Aufgabe und komme einfach nicht weiter. Wie muss ich hier vorgehen. Elementare Zeilenstufenform heisst doch nichts anderes als Gauußsches Eliminationsverfahren, oder. Das sind die elementaren Möglichkeiten, die man dabei hat, oder? Aber wie beweise ich jetzt das BmalA^minus1=E ist. Wie stelle ich überahupt A^minus1 dar! Wenn ich z.B eine eine 5 habe, dann ist das inverse Element dazu 1/5 und 5 mal 1/5 vergibt 1. Aber wie sieht das Ganze bei Matrizen aus. Könnte mir da bitte jemand weiterhelfen.Bitte.
LG
Maggi
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Ich schätze du sollst das nur für eine beliebige Zeilenumformung zeigen. Du musst also nicht die Matrix mit Gauss auf ZSF bringen.
Überleg dir mal, wie du so eine elementare Zeilenumformung als Matrizenmultiplikation bewerkstelligen kannst. D.h heißt, finde für jede Zeilenumformung eine Matrix M, so dass [mm] M\cdot{}A [/mm] bei der Matrix A gerade die Zeilenumformung bewirkt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:57 Di 13.06.2006 | | Autor: | maggi20 |
Danke für deine schnelle Antwort. Tut mir leid, aber ich verstehe überhaupt nicht wie ich vorgehen muss. Also ich habe bis jetzt nur verstanden, dass ich die nmaln Matrix nicht nach Gauß, sondern mit irgendeiner bel. Zeilenumformung umformen soll. Aber mit welchem Zie? Wie sieht überhaupt eine inverse Matrix aus? Könntest du mir da bitte weiterhelfen? LG Maggi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:38 Di 13.06.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo maggi
Wenn man die inverse Matrix sucht muss man einfach ein lineares Gleichungssystem lösen du schreibst deine Matrix A hin, dahinter eine mit den Einträgen [mm] (x_{ij}) [/mm] dann gleich Einheitsmatrix.
Wenn du das ausrechnest für ne n [mm] \times [/mm] n Matrix hast du ein lineares Gleichungssystem mit [mm] n^{2} [/mm] Gleichungen, also ziemlich grausig.
da rechts aber nur als Spaltenvektoren die Einheitsvektoren stehen, kann man das Gaussverfahren gleich auf alle anwenden, dann hast du praktisch nur n Gleichungen links, aber mit n rechten Seiten.
Aber das sollst du ja gar nicht! (noch nicht, demnächst kommt das auf dich zu! Dies ist ne Vorbereitung dazu!)
Beim Gleichungslösen addierst du immer wieder Vielfache einer Zeile zu einer anderen, das ist eine elementare Zeilenumformung.
Statt nun zur iten Zeile r*der jten Zeile zu addieren Multiplizierst du von links mit einer Matrix, die die Einheitsmatrix ist, nur an der Stelle ij steht ein r statt einer 0 das kann man auch schreiben als Einheitsmatrix E +Matrix N mit lauter Nullen nur an der Stelle ij ein r. Mach das mal mit ner 3 [mm] \times [/mm] 3 Matrix, multiplizier sie mit ner Matrix, N von links, bei der nur an der Stelle 23 ein r steht. Wenn du dann mit E+N multiplizierst hast du deine ZeilenUmformung.
Wenn du das hinkriegst und allgemeiner schreibst ist der beweis leicht!
Anderer Weg. Du nimmst A, stellst dir vor du hast [mm] A^{-1}, [/mm] dh. jede Zeile von A mit einer Spalte von [mm] A^{-1} [/mm] multipliziert ergibt ein 1 oder 0, weil ja die einheitsmatrix rauskommt.
dann änderst du A, indem du zu einer Zeileder iten das r fache einer anderen der jten dazufügst, multiplizierst wieder mit [mm] A^{-1} [/mm] und jetzt sollte nicht E rauskommen sondern auch im Ergebnis statt der Einheitsmatrix die, bie der du zur iten Zeile das r fache der jten addiert hast! Mach das für ne 3 [mm] \times3 [/mm] Matrix, aber nicht wirklich ausmult. sondern nur verwenden dass immer Zeile mal Spalte die 0 oder 1 geben!
Ich schick noch ein url mit, aber eigentlich geht das viel weiter, als du es hier brauchst! Ich denk für euch war der 2. Weg gedacht bei der Aufgabe! Das erste ist zwar verbreitet, wird aber fast immer in der Vorlesung behandelt!
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Gruss leduart
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