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| Aufgabe | Sei P = {p: [mm] \IR \to \IR| [/mm] p(x) = ax² + bx + c mit a,b,c in /IR} die Mege der Polynome vom Grad [mm] \le [/mm] 2.
Zeigen Sie, dass (P, + , *) mit punktweiser Addition p + q : x [mm] \mapsto [/mm] p(x) + q(x) mit skalarer Multiplikation [mm] \alpha [/mm] * p : x [mm] \mapsto \alpha [/mm] p(x) einen Vektorraum bildet. |
Hallo,
abgesehen davon, dass ich den ganzen Sinn der Sache nicht so ganz auf den Schirm bekomme, weiß ich jetzt nicht so ganz wie ich an die Sache rangehen soll.
In der Aufgabe ist ja z. B. ein q angegeben, aber wie komme ich da dran?
Irgendwie weiß ich jetzt nicht welche "Werte" ich mit P addiere / multiplizieren soll:-(
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Danke schonmal im Vorraus
Dark
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Hallo Dark_Chrystal und ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") ,
> Sei $P = [mm] \{p: \IR \to \IR \mid p(x) = ax² + bx + c \ \text{mit} \ a,b,c \in \IR\}$ [/mm] die Mege der Polynome vom Grad [mm]\le[/mm] 2.
>
> Zeigen Sie, dass (P, + , *) mit punktweiser Addition p + q
> : x [mm]\mapsto[/mm] p(x) + q(x) mit skalarer Multiplikation [mm]\alpha[/mm]
> * p : x [mm]\mapsto \alpha[/mm] p(x) einen Vektorraum bildet.
> Hallo,
> abgesehen davon, dass ich den ganzen Sinn der Sache nicht
> so ganz auf den Schirm bekomme, weiß ich jetzt nicht so
> ganz wie ich an die Sache rangehen soll.
> In der Aufgabe ist ja z. B. ein q angegeben, aber wie
> komme ich da dran?
> Irgendwie weiß ich jetzt nicht welche "Werte" ich mit P
> addiere / multiplizieren soll:-(
Naja, als Student(in) im Hauptstudium solltest du eigentlich auch mit etwas abstrakteren Vektorräumen umgehen können ...
Nun, hier haben wir eine Menge von reellwertigen Polynomen höchstens 2.Grades, die mit den oben definierten Verknüpfungen einen [mm] $\IR-VR$ [/mm] bilden sollen.
Die Vektoren, die wir hier betrachten, sind also Polynome höchstens 2.Grades mit reellen Koeffizienten, die Skalare sind aus dem Körper [mm] $\IR$
[/mm]
Nun gilt es, die ganzen VR-Axiome nachzuweisen.
U.A. muss $(P,+)$ eine abelsche Gruppe sein.
Bedenke, dass zwei Polynome p,q übereinstimmen, wenn die in jedem Funktionswert übereinstimmen, wenn also [mm] $\forall x\in\IR: [/mm] p(x)=q(x)$
Schauen wir die Gruppenaxiome an:
(1) Abgeschlossenheit: zz.: Für 2 bel. Polynome [mm] $p,q\in [/mm] P$ gilt: [mm] $p+q\in [/mm] P$
Seien also [mm] $p=p(x)=ax^2+bx+c$ [/mm] und [mm] $q=q(x)=dx^2+ex+f$ [/mm] gegeben und sei [mm] $x\in\IR$ [/mm] beliebig.
Dann ist [mm] $(p+q)(x)\underbrace{=}_{\text{nach Def. +}}p(x)+q(x)=ax^2+bx+c+dx^2+ex+f=(a+d)x^2+(b+e)x+(c+f)$
[/mm]
Und das ist ein Polynom höchstens 2.Grades mit reellen Koeffizienten, also [mm] $\in [/mm] P$
Da [mm] $x\in\IR$ [/mm] bel. vorgegeben war, haben wir die Abgeschlossenheit, es ist also [mm] $p+q\in [/mm] P$.
Nun gehe mal an die restlichen Axiome.
Was ist neutrales Element, also Nullvektor?
Wie sieht das Inverse [mm] $p^{-1}$ [/mm] zu [mm] $p=p(x)=ax^2+bx+c$ [/mm] aus?
Bleiben die Axiome, die die Multiplikation mit den Skalaren regeln ...
Halte dich einfach an die elementweise Definition
Gib dir bel. [mm] $x\in\IR$ [/mm] vor und bedenke, dass für [mm] $\alpha\in\IR, p=p(x)=ax^2+bc+c\in [/mm] P$ gilt: [mm] $\alpha\cdot{}p(x)=\alpha\cdot{}(ax^2+bx+c)=\alpha\cdot{}ax^2+\alpha\cdot{}bx+\alpha\cdot{}c$ [/mm] ...
Ich hoffe, das reicht dir zum Anfangen 
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Danke schonmal im Vorraus
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> Dark
LG und viel Erfolg
schachuzipus
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