Zeigen, dass f in x diffb. ist < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Es sei [mm] x_{0}\in [/mm] (a,b) und [mm] f:[a,b]\to \mathbb{R} [/mm] stetig und differenzierbar auf [mm] [a,b]\backslash \{x_{0}\}. [/mm] Weiterhin existiere der Grenzwert [mm] \limes_{x\rightarrow\x_{0}} [/mm] f'(x) =: y. Zeigen Sie, dass dann f auch in [mm] x_{0} [/mm] differenzierbar ist mit der Ableitung [mm] f'(x_{0}) [/mm] = y. Kann auf die Stetigkeit im Punkt [mm] x_{0} [/mm] verzichtet werden? |
Guten Morgen,
ich habe leider keinen Ansatz zu dieser Aufgabe. Insbesondere verstehe ich auch den Grenzwert [mm] \limes_{x\rightarrow\x_{0}} [/mm] f'(x) =: y nicht. Wenn ich für [mm] f'(x_{0} [/mm] den Differentialquotienten einsetzen würde, dann würde ich ja einen doppelten Grenzwert erhalten. Ich würde mich über Hilfe sehr freuen.
Viele Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:28 Sa 17.01.2015 | | Autor: | fred97 |
> Es sei [mm]x_{0}\in[/mm] (a,b) und [mm]f:[a,b]\to \mathbb{R}[/mm] stetig und
> differenzierbar auf [mm][a,b]\backslash \{x_{0}\}.[/mm] Weiterhin
> existiere der Grenzwert [mm]\limes_{x\rightarrow\x_{0}}[/mm] f'(x)
> =: y. Zeigen Sie, dass dann f auch in [mm]x_{0}[/mm] differenzierbar
> ist mit der Ableitung [mm]f'(x_{0})[/mm] = y. Kann auf die
> Stetigkeit im Punkt [mm]x_{0}[/mm] verzichtet werden?
> Guten Morgen,
> ich habe leider keinen Ansatz zu dieser Aufgabe.
> Insbesondere verstehe ich auch den Grenzwert
> [mm]\limes_{x\rightarrow x_{0}}[/mm] f'(x) =: y nicht.
In jedem x [mm] \in [/mm] $ [mm] [a,b]\backslash \{x_{0}\} [/mm] $ existiert die Ableitung f'(x).
Vorausgesetzt ist, dass die Funktion f': $ [mm] [a,b]\backslash \{x_{0}\} \to \IR [/mm] $ einen Grenzwert für x [mm] \to x_0 [/mm] hat.
> Wenn ich für
> [mm]f'(x_{0}[/mm] den Differentialquotienten einsetzen würde, dann
> würde ich ja einen doppelten Grenzwert erhalten. Ich
> würde mich über Hilfe sehr freuen.
Für x [mm] \in [/mm] $ [mm] [a,b]\backslash \{x_{0}\} [/mm] $ berachte den Quotienten
[mm] \bruch{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}.
[/mm]
Stelle diesen Quotienten mit Hilfe des Mittelwertsatzes dar.
FRED
>
> Viele Grüße
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