Zeigen, dass K ein Körper ist! < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:24 Do 23.11.2006 | | Autor: | gore |
| Aufgabe | [mm] K:=\IQ [/mm] x [mm] \IQ [/mm] sei Körper, mit Addition und Multiplikation von zwei Elementen (a,b) und (c,d), wie folgt:
(a,b)+(c,d):=(a+c,b+d)
(a,b)*(c,d):=(ac+2bd,ad+bc). |
Hi,
ich habe ein Problem mit dieser Aufgabe.
Es soll gezeigt werden, dass K ein Körper ist. Insbesondere sollen die Neutralen Elementen der Multiplikation und Addition nachgewiesen werden...
Mit dem der Multiplikation hab ich so meine Probleme...
Das geht doch nicht?!? Denn:
[mm] (a,b)*(a,b)^{-1} [/mm] = [mm] (a*a^{-1}+2*b*b^{-1} ,a*b^{-1}+b*a^{-1})=(3, \bruch{a}{b}+\bruch{b}{a}) [/mm] ?? Das stimmt doch nicht? Da muss doch eigentlich (1,1) rauskommen, oder?
Habe ich das flasche Neutrale Element genommen?
Und wie geht z.B. das Distributivgesetz, wenn da eine 2 in der Multiplikation steht?
Wäre K noch ein Körper, wenn da z.B. eine 4 stehen würde? Verstehe den Zusammenhang mit der 2 nicht...
Kann mir bitte jemand nen Lösungsansatz sagen?
Gruß
Andi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:45 Do 23.11.2006 | | Autor: | xsara |
Hallo Andi!
Zur Existenz von neutralen Elementen musst du zeigen, dass z.B. für die Addition gilt:
(0,0)+(a,b)=(0+a,0+b)=(a,b).
Tipp: das neutrale Element der Multiplikation ist nicht (1,1)!
Zur Existenz von inversen Elementen musst du zeigen, dass beispielsweise für die Addition gilt:
(-a,-b)+(a,b)=(0,0), wobei (0,0) das neutrale Element der Addition ist.
Zum Distributivgesetz musst du zeigen, dass
((a,b)+(c,d))*(e,f)=(a,b)*(e,f)+(c,d)*(e,f) gilt. Also einfach mit den angegebenen Verknüpfungen ausrechnen.
Viel Erfolg!
xsara
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