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| Aufgabe | | Es sei M eine Menge und P(M) die Menge aller Teilmengen von M. Man zeige, dass P(M) mit der symmetrischen Differenz [mm] \Delta, [/mm] A [mm] \Delta [/mm] B := (A \ B) ∪ (B \ A) eine Gruppe bildet. |
Hi!
Kann mir vielleicht jemand bei dieser Aufgabe helfen?
Ich weiß, dass eine Gruppe aus einer nichtleeren Menge und einer Abbildung besteht mit den Eigenschaften Assoziativität, Existenz eines neutralen Elements und eines inversen Elements.
Diese Eigenschaften müsste ich ja nun nachweisen. Aber wie mache ich das? Ich habe leider gar keine Ahnung, wie ich da rangehen soll.
Wäre echt supi, wenn mir jemand helfen könnte.
Danke!
Lg, Jenny
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:22 Fr 20.04.2007 | | Autor: | unknown |
Hallo,
> Es sei M eine Menge und P(M) die Menge aller Teilmengen von
> M. Man zeige, dass P(M) mit der symmetrischen Differenz
> [mm]\Delta[/mm], [mm]A\Delta B := (A \setminus B) \cup (B \setminus A)[/mm] eine Gruppe
> bildet.
> Hi!
> Kann mir vielleicht jemand bei dieser Aufgabe helfen?
> Ich weiß, dass eine Gruppe aus einer nichtleeren Menge und
> einer Abbildung besteht mit den Eigenschaften
> Assoziativität, Existenz eines neutralen Elements und eines
> inversen Elements.
> Diese Eigenschaften müsste ich ja nun nachweisen. Aber wie
> mache ich das? Ich habe leider gar keine Ahnung, wie ich da
> rangehen soll.
Naja, am besten der Reihe nach.
(1) $P(M)$ ist nicht leer, denn es gilt immer [mm] $\emptyset \in [/mm] P(M)$, egal, wie $M$ aussieht.
(2) Für die Assoziativität musst Du folgendes zeigen: Seien $A,B,C [mm] \in [/mm] P(M)$ (d.h. $A,B,C [mm] \subseteq [/mm] M$). Dann muss man nachrechnen, dass gilt $A [mm] \Delta [/mm] (B [mm] \Delta [/mm] C) = (A [mm] \Delta [/mm] B) [mm] \Delta [/mm] C$. Also, Du musst zeigen, dass
[mm] $\displaystyle\left(\,A \setminus \Bigl((B \setminus C) \cup (C \setminus B)\Bigr)\,\right) \cup \left(\,\Bigl((B \setminus C) \cup (C \setminus B)\Bigr) \setminus A\,\right) [/mm] = [mm] \left(\,\Bigl((A \setminus B) \cup (B \setminus A)\Bigr) \setminus C\,\right) \cup \left(\,C \setminus \Bigl((A \setminus B) \cup (B \setminus A)\Bigr)\right)$
[/mm]
gilt. Das ist zugegebenermaßen eine blöde Rechnerei. Du kannst versuchen, die beiden Seiten mittels Rechenregeln für Mengen etwas zu vereinfachen. Oder Du benutzt die Definition der Mengenoperationen. Dann kommst Du auf logische Formeln, deren Gleichheit Du zeigen musst. (Das geht eventuell mittels Wahrheitstabellen).
(3) Das neutrale Element ist wieder einfacher. Tipp: Es muss ein Element sein, dass wirklich in jeder Potenzmenge zu finden ist, egal, wie $M$ aussieht.
(4) Wenn Du ein neutrales Element hast, kannst Du anfangen, Inverse zu suchen. Tipp: Überleg vielleicht als erstes, was das neutrale Element von $M$ ist.
Hoffe, das hilft Dir.
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