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Zeigen Sie direkt:
[mm] \produkt_{k=1}^{n}(1+\bruch{1}{k})^k=\bruch{n^n}{n!}
[/mm]
in meinen Umformungen bin ich bei diesem Ausdruck hängen geblieben und weiß nicht mehr weiter, weil diese Sachen auch ganz neu für mich sind...
[mm] \produkt_{k=2}^{n}(\bruch{1}{k}*k^k)*\produkt_{k=1}^{n-1}(\bruch{1}{k^k})
[/mm]
Ich würde jetzt nicht nur gerne die weitern Umformungen erfahren, sondern auch nach was man bei Umformungen mit Produkten und Summen schauen muss, bzw. wie die Strategie dort ist.
Jeder hat doch so eine Art Schema das bei solchen Aufgaben abgearbeitet wird?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:14 So 03.11.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Zeigen Sie direkt:
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> [mm]\produkt_{k=1}^{n}(1+\bruch{1}{k})^k=\bruch{n^n}{n!}[/mm]
na, ich mache es mal so: Ich schreibe es in "ziemlich eindeutig nachvollziehbarer
Form auf", und Du schreibst das Ganze mal mit dem Produktzeichen hin.
Meistens ist es bei solchen Produktaufgaben so, dass sich "vieles rauskürzt": Obiges ist
[mm] $=\prod_{k=1}^n \frac{(k+1)^k}{k^k}=\frac{\prod_{k=1}^n (k+1)^k}{\prod_{k=1}^n k^k}=\frac{\prod_{\ell=2}^{n+1} \ell^{\ell-1}}{\prod_{k=1}^n k^k}$
[/mm]
bei letztem Schritt habe ich einen Indexshift gemacht.
Jetzt schreibe ich mal aus:
[mm] $=\frac{(2^{2-1}*3^{3-1}*...*n^{n-1})\;*\;{(n+1)}^{(n+1)-1}}{1^1*(2^2*3^3*...*n^n)}=\frac{\left(\frac{\red{2^2*3^3*...*n^n}}{2*3*...*n}\right)\;*\;{(n+1)}^n}{\red{2^2*3^3*...*n^n}}$
[/mm]
Siehst Du, dass das
[mm] $=\frac{(n+1)^n}{n!}$
[/mm]
ist? (Das heißt, da ist ein Fehler in der Aufgabenstellung - das merkt man aber
auch schon, wenn man speziell [mm] $n=2\,$ [/mm] betrachtet!)
P.S.
Rechne das ganze Prozedere einfach mal beispielhaft für [mm] $n=7\,$ [/mm] durch, dann
siehst Du, denke ich, auch ziemlich klar, was ich da gemacht habe.
Wichtig sind halt auch Rechenregeln wie
[mm] $\frac{a}{b}*\frac{c}{d}=\frac{a*c}{b*d}\,,$ [/mm] oder [mm] $(a/b)^m=a^m/b^m$
[/mm]
oder
[mm] $x^{m-1}=\frac{x^m}{x}$
[/mm]
oder
[mm] $n!=1*2*3*...*n=\produkt_{k=1}^n [/mm] k$ [mm] $\left(=\produkt_{k=\red{2}}^n k\right).$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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Mist, ich habe mich auch verschrieben beim Produkt. Die Grenze war nicht n sondern n-1. Dann müsste die angegeben Lösung wieder stimmen.
Also mein Ansatz:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 07:12 Mo 04.11.2013 | | Autor: | SturmGhost |
Ist mein Ansatz denn falsch bzw. kann man auch meinen Weg gehen? wie geht es weiter bei meinem Ansatz?
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> Mist, ich habe mich auch verschrieben beim Produkt. Die
> Grenze war nicht n sondern n-1. Dann müsste die angegeben
> Lösung wieder stimmen.
>
> Also mein Ansatz:
Hallo,
Dein Ansatz hat nennenswerte Schwächen, und die sind nicht witzig:
1. Es ist ein Scan, man kann nichts dazwischenschreiben und muß alles selbst tippen, wenn man helfen möchte.
2. Das Bild sprengt meinen Bildschirm.
3. Es ist mir kaum möglich, bei Dir k und n zu unterscheiden.
All diese Schwächen gäbe es nicht, hättest Du Deinen Ansatz eingetippt...
Ich sehe keinen Fehler.
Überlege Dir, daß Du im zweiten Produkt in der letzten Zeile die Multiplikation mit k=2 beginnen kannst, ohne daß sich das Ergebnis ändert.
Schreibe dann das erste Produkt als [mm] \bruch{n^n}{n}*\summe_{k=2}^{n-1}... [/mm] und fasse zusammen.
LG Angela
> [Dateianhang nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:57 Do 07.11.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
wenn Du mit Scans/Bildern arbeiten willst (was hier nur sinnvoll ist, wenn
es aus der Not heraus sein muss, weil etwas etwa verdammt eilig wäre),
dann starte bitte
Irfanview (oder ein alternatives Bildbearbeitungsprogramm)
und speichere das Bild im Format 1024x768 ab (-> Größe ändern).
Dann sieht das etwa so aus:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Gruß,
Marcel
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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