Zeigen das Folge konvergiert < Folgen+Grenzwerte < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:25 Do 04.12.2008 | | Autor: | Cougar |
| Aufgabe | Wir definieren die Folge [mm] (a_n) [/mm] (n [mm] \in \IN_0) [/mm] durch [mm] a_0 [/mm] = 1 und [mm] a_n=\wurzel{1+a_n_-_1} [/mm] . [mm] \forall [/mm] n >= 1
Zeigen Sie, dass die Folge konvergiert und bestimmen Sie den Grenzwert |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo
konvergieren bedeutet doch sich an einen Grenzwert nähern oder??
Aber wie soll ich hier zeigen das sie konvergiert vor allem wie soll ich den Grenzwert bestimmen??
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> Wir definieren die Folge [mm](a_n)[/mm] (n [mm]\in \IN_0)[/mm] durch [mm]a_0[/mm] = 1
> und [mm]a_n=\wurzel{1+a_n_-_1}[/mm] . [mm]\forall[/mm] n >= 1
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> Zeigen Sie, dass die Folge konvergiert und bestimmen Sie
> den Grenzwert
> konvergieren bedeutet doch sich an einen Grenzwert nähern
> oder??
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Hallo,
"konvergiert" bedeutet, daß die Folge einen Grenzwert hat.
> Aber wie soll ich hier zeigen das sie konvergiert vor allem
> wie soll ich den Grenzwert bestimmen??
Das zeigen der Konvergenz ist hier eher schwieriger als das bestimmen des Grenzwertes.
Zur Konvergenz: Glück hat man, wenn man zeigen kann, daß die Folge monoton und beschränkt ist, denn daraus folgt die Konvergenz.
Hast Du mal Folgenglieder ausgerechnet? Könnte es sein, daß das der Fall ist? Damit stünde dann ja der große Plan.
Zum Grenzwert: vorausgesetzt, die Folge hat einen Grenzwert a.
Diesen kannst Du dann mithilfe der Rekursion [mm] a_n=\wurzel{1+a_n_-_1} [/mm] ermitteln, indem Du auf beiden Seiten der gleichung den Grenzwert berechnest und dann nach a auflöst.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:15 Do 04.12.2008 | | Autor: | Cougar |
> Zur Konvergenz: Glück hat man, wenn man zeigen kann, daß
> die Folge monoton und beschränkt ist, denn daraus folgt die
> Konvergenz.
Das sie monoton ist leuchtet mir ein, da man weiß das die wurzel monoton Steigend ist. Aber wie fasst man das in einen gültigen beweis. Und ich weiß das sie beschränkt ist. Hab mal bis zu a_10 ausgerechnet und da sieht man das nicht viel größer wird als 1.618032323. Damit ist es ja beschränkt aber ich weiß auch nicht wie ich das in einen gültigen beweis fassedie Folge hat einen Grenzwert
> Diesen kannst Du dann mithilfe der Rekursion
> [mm]a_n=\wurzel{1+a_n_-_1}[/mm] ermitteln, indem Du auf beiden
> Seiten der gleichung den Grenzwert berechnest und dann nach
> a auflöst.
Also einen Grenzwert gibt es scheinbar da es ja beschränkt ist aber wie du das mit dem berechnen der Grenzwertes meinst hab ich nicht verstanden.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:27 Do 04.12.2008 | | Autor: | pelzig |
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> > Zur Konvergenz: Glück hat man, wenn man zeigen kann, daß
> > die Folge monoton und beschränkt ist, denn daraus folgt die
> > Konvergenz.
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> Das sie monoton ist leuchtet mir ein, da man weiß das die
> wurzel monoton Steigend ist. Aber wie fasst man das in
> einen gültigen beweis. Und ich weiß das sie beschränkt ist.
> Hab mal bis zu a_10 ausgerechnet und da sieht man das nicht
> viel größer wird als 1.618032323.
Aha... vielleicht macht die Folge ja später noch komische Sachen?!?
> Damit ist es ja beschränkt aber ich weiß auch nicht wie ich das in einen
> gültigen beweis fasse.
Zeige z.B. durch vollständige Induktion $a_n<2$.
> Also einen Grenzwert gibt es scheinbar da es ja beschränkt
> ist aber wie du das mit dem berechnen der Grenzwertes
> meinst hab ich nicht verstanden.
Man macht das so: Angenommen, es gibt einen Grenzwert $a$, dann folgt aus $a_{n+1}=\sqrt[1+a_n}$ zunächst $\lim_{n\to\infty}a_{n+1}=\lim_{n\to\infty}\sqrt{1+a_n}$.
Es ist klar dass $\lim_{n\to\infty}a_{n+1}=\lim_{n\to\infty}a_n=a$ ist (da bei konvergenten Folgen jede Teilfolge gegen denselben Grenzwert konvergiert) und außerdem ist $\lim_{n\to\infty}\sqrt{1+a_n}=\sqrt{1+\lim_{n\to\infty} a_n}$ (Folgenstetigkeit!) und somit insgesamt $a=\sqrt{1+a}$. Diese Gleichung kannst du nach a auflösen und erhälst den Grenzwert.
Veriss nicht: diese Argumentation sagt nur "Falls die Folge konvergiert, dann muss der Grenzwert dies-und-das sein". Ob die Folge überhaupt konvergiert steht auf einem anderen Blatt.
Gruß, Robert
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