Zeige f ist Regelfunktion < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:58 So 22.01.2012 | | Autor: | Gedro |
| Aufgabe | Gegeben sind die Funktionen:
f: [0,1] [mm] \to\IR, x\mapsto \begin{cases} 0, x = 0 oder x\not\in\IQ \\ \bruch{1}{q}, x = \bruch{p}{q} mit q\in\IN, p\in\IZ, ggT(p,q) = 1 \end{cases}
[/mm]
[mm] f_{n}: [/mm] [0,1] [mm] \to \IR, [/mm] x [mm] \mapsto \begin{cases} f(x), x \in \{\bruch{k}{n!} | 0\le k \le n! \} \\ \bruch{1}{n!}, sonst \end{cases}
[/mm]
(Bewiesen ist schon, dass [mm] f_{n} [/mm] gleichmäßig gegen f konvergiert und f nicht stetig ist.)
Zeige, dass f eine Regelfunktion ist und bestimmte [mm] \integral_{0}^{1}{f(x) dx}. [/mm] |
Ich kann das nun auf zwei Arten zeigen, entweder ich zeige, dass der rechtsseitige und der linksseitige Limes existieren oder ich zeige, dass [mm] f_{n} [/mm] eine Treppenfunktion ist.
Leider komme ich bei beiden nicht weiter. Für den Limesbeweis scheitert es an dem Fall [mm] x\in\IQ, [/mm] wenn [mm] f_{n} [/mm] von unten oder oben gegen x konvergiert.
Angenommen die Folge [mm] (x_{n})_{n} [/mm] konvergiert von unten gegen [mm] x\in\IQ. [/mm] Dann ex. eine Teilfolge die ganz in [mm] \IR [/mm] liegt und eine die ganz in [mm] \IQ [/mm] liegt. Für die Folge, die in [mm] \IR [/mm] liegt hätte ich stets [mm] \bruch{1}{n!} [/mm] als Funktionswert von [mm] f_{n} [/mm] und somit würde die gegen 0 konvergieren.
Für die Teilfolge, die in [mm] \IQ [/mm] liegt, hätte ich aber entweder [mm] \bruch{1}{n!} [/mm] oder f(x) = [mm] \bruch{1}{q} [/mm] als Funktionswert für [mm] f_{n} [/mm] gegeben. Die konvergiert aber nicht gegen 0 so wie es für mich aussieht.
Beim andere Weg über die Treppenfunktion stoße ich auf das Problem, dass ich keine endliche Unterteilung des Intervalls [0,1] finde, in der [mm] f_{n} [/mm] jeweils einen konstanten Wert annimmt.
Genauso ratlos bin ich folglich auch beim Integral. Ich weiss, dass gilt [mm] \integral_{0}^{1}{f(x) dx} [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \integral_{0}^{1}{f_{n}(x) dx}, [/mm] aber das kann ich solange nicht lösen, bis ich eine Unterteilung von [mm] f_{n} [/mm] in Intervallen gefunden habe bzw. gezeigt habe, dass es eine Treppenfunktion ist.
Vielen Danke für jede Hilfe.
Gruß,
Gedro
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:11 Mo 23.01.2012 | | Autor: | SEcki |
> Ich kann das nun auf zwei
> Arten zeigen, entweder ich zeige, dass der rechtsseitige
> und der linksseitige Limes existieren oder ich zeige, dass
> [mm]f_{n}[/mm] eine Treppenfunktion ist.
Wie ist denn Trppenfunktion bei euch genau definiert? Man kann es jedenfalls problemlos so definierne, dass [m]f_n[/m] offensichtlich eine ist.
> Leider komme ich bei beiden nicht weiter. Für den
> Limesbeweis scheitert es an dem Fall [mm]x\in\IQ,[/mm] wenn [mm]f_{n}[/mm]
> von unten oder oben gegen x konvergiert.
[m]f_n[/m]? Warum denn das? Du untersuchst doch f ...
> Angenommen die Folge [mm](x_{n})_{n}[/mm] konvergiert von unten
> gegen [mm]x\in\IQ.[/mm] Dann ex. eine Teilfolge die ganz in [mm]\IR[/mm]
> liegt und eine die ganz in [mm]\IQ[/mm] liegt. Für die Folge, die
> in [mm]\IR[/mm] liegt hätte ich stets [mm]\bruch{1}{n!}[/mm] als
> Funktionswert von [mm]f_{n}[/mm] und somit würde die gegen 0
> konvergieren.
Ich verstehe kein Wort.
> Für die Teilfolge, die in [mm]\IQ[/mm] liegt, hätte ich aber
> entweder [mm]\bruch{1}{n!}[/mm] oder f(x) = [mm]\bruch{1}{q}[/mm] als
> Funktionswert für [mm]f_{n}[/mm] gegeben. Die konvergiert aber
> nicht gegen 0 so wie es für mich aussieht.
Ich habe 5 Minuten nachgedacht - und ich verstehe immer noch kein Wort. Was willst du machen? Wo leben deine Folgen? Was betrachtest du? Was willst du denn genau haben?
> Genauso ratlos bin ich folglich auch beim Integral. Ich
> weiss, dass gilt [mm]\integral_{0}^{1}{f(x) dx}[/mm] =
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \integral_{0}^{1}{f_{n}(x) dx},[/mm]
> aber das kann ich solange nicht lösen, bis ich eine
> Unterteilung von [mm]f_{n}[/mm] in Intervallen gefunden habe bzw.
> gezeigt habe, dass es eine Treppenfunktion ist.
Die Integrale von [m]f_n[/m] sind eigentlich total offensichtlich - wie integriesrt du denn zB die Funktion, die ueberall 1, ausser in 0.5 gleich 1 ist ueber [0,1]?
SEcki
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:12 Mo 23.01.2012 | | Autor: | Gedro |
Oh mein Gott, es tut mir leid, ich habe dort groben Unfug geschrieben. Ich war wohl geistig nicht ganz bei der Sache und den Beweis der gleichmäßigen Konvergenz mit dem Beweis für die Existenz der Limiten vermischt. :/
Erstmal vorweg die Definition einer Treppenfunktion, die wir in der Vorlesung hatte:
Sei f: [mm] [a,b]\to\IR, [/mm] f heisst Treppenfkt., falls [mm] a=x_{0}
Das Integral hatten wir bis dato auch nur folgendermaßen definiert. Sei [mm] (f_{n})_{n} [/mm] eine Funktionenfolge, die gegen f gleichmäßig konvergiert, dann gilt:
[mm] \integral_{a}^{b}{f(x) dx} [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \integral_{a}^{b}{f_{n}(x) dx}
[/mm]
Nun zur Korrektur meines Blödsinns:
Ich muss zeigen, dass der linksseitige und rechtsseitige Limes für die Funktion f existiert, um somit zu zeigen, dass f eine Regelfunktion ist.
D.h. ich muss u.a. zeigen:
Für [mm] \forall [/mm] y [mm] \in [/mm] (0,1] existiert [mm] \limes_{x\rightarrow y}f_{n}(x) [/mm] (x läuft von unten gegen y).
Nehme ich mir nun eine Folge [mm] (x_{n})_{n} [/mm] mit [mm] x_{n} [/mm] < y für [mm] \all [/mm] y [mm] \in [/mm] (0,1] und [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} x_{n} [/mm] = y, sowie [mm] (x_{n})_{n}\subseteq \IR, [/mm] dann finde ich zwei Teilfolgen
[mm] (x_{n_{i}})_{i} [/mm] und [mm] (x_{n_{j}})_{j} [/mm] für die gilt [mm] (x_{n_{i}})_{i} \subset\IQ [/mm] und [mm] (x_{n_{j}})_{j} \subset\IR \setminus\IQ. [/mm] D.h. eine Folge nimmt nur rationale Werte an und die andere nur irrationale.
Nun gilt für [mm] \limes_{j\rightarrow\infty}f(x_{n_{j}}) [/mm] = 0, aber für [mm] \limes_{i\rightarrow\infty} f(x_{n_{i}}) [/mm] kann ich für einen Fall keine Konvergenz gegen 0 beweisen.
In einer vorherigen Übungsaufgabe haben wir mal gezeigt, dass wenn [mm] (x_{n_{i}})_{i} [/mm] gegen ein [mm] y\in\IR\setminus\IQ [/mm] konvergiert, somit [mm] \limes_{i\rightarrow\infty} \bruch{1}{q_{n_{i}}} [/mm] = 0 gilt, wenn [mm] x_{n_{i}} [/mm] = [mm] \bruch{p_{n_{i}}}{q_{n_{i}}} [/mm] für [mm] \forall n\el\IN [/mm] ist.
Der Fall, dass [mm] (x_{n_{i}})_{i} [/mm] gegen ein [mm] y\in\IQ [/mm] konvergiert ist also das Problem.
Der Beweis, dass f eine Regelfunktion ist, über die Treppenfunktion zu führen scheint mir hier aber wesentlich praktischer zu sein, weil ich dann gleich eine Treppenfunktion zur Hand, mit der ich das Integral berechnen kann.
Aber wie gehe ich hier vor? Für mich scheint es bei der Funktion [mm] f_{n} [/mm] kein einziges offenes Intervall [mm] (x_{i-1}, x_{i}) [/mm] zu geben mit [mm] x_{i-1} [/mm] < [mm] x_{i} [/mm] in der sie konstant ist, denn es lässt sich zwischen zwei rationalen Zahlen stets eine irrationale Zahl finden und umgekehrt. Dann würde ich auch behaupten, dass [mm] \integral_{0}^{1}{f_{n}(x) dx} [/mm] = 0 ist und somit auch [mm] \integral_{0}^{1}{f(x) dx} [/mm] = 0 ist.
Gruß,
Gedro
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:32 Mo 23.01.2012 | | Autor: | SEcki |
> Aber wie gehe ich hier vor? Für mich scheint es bei der
> Funktion [mm]f_{n}[/mm] kein einziges offenes Intervall [mm](x_{i-1}, x_{i})[/mm]
> zu geben mit [mm]x_{i-1}[/mm] < [mm]x_{i}[/mm] in der sie konstant ist, denn
> es lässt sich zwischen zwei rationalen Zahlen stets eine
> irrationale Zahl finden und umgekehrt.
Und warum impliziert dies, dass es keine Treppenfunktion ist? Versuch es mal zu beweisen.
Dann würde ich auch
> behaupten, dass [mm]\integral_{0}^{1}{f_{n}(x) dx}[/mm] = 0 ist und
Sicher falsch.
> somit auch [mm]\integral_{0}^{1}{f(x) dx}[/mm] = 0 ist.
Das stimmt allerdings.
SEcki
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:00 Di 24.01.2012 | | Autor: | Gedro |
Ich habe das jetzt so gelöst:
Da die Menge [mm] \{\bruch{k}{n!} | 0\le k \le n! \} [/mm] endlich ist, besitzt [mm] f_{n} [/mm] für [mm] \forall [/mm] n [mm] \in\IN [/mm] nur endlich viele Stellen, an dem sie den Funktionswert f annimmt. D.h. es lässt sich für jegliches [mm] n\in\IN [/mm] eine Unterteilung [mm] x_{0}
Es kann nicht vorkommen, dass [mm] f_{n} [/mm] auf einem offenen Intervall der Unterteilung den Funktionswert f annimmt, denn für [mm] \forall a,b\in\{\bruch{k}{n!} | 0\le k \le n! \} [/mm] lässt sich ein c finden mit [mm] c\not\in\IQ [/mm] und a<c<b.
Somit würde für das Integral gelten:
[mm] \integral_{0}^{1}{f_{n}(x) dx} [/mm] = [mm] \bruch{1}{n!} [/mm] für [mm] \forall n\in\IN
[/mm]
und folglich
[mm] \integral_{0}^{1}{f(x) dx} [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \integral_{0}^{1}{f_{n}(x) dx} [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1}{n!} [/mm] = 0
Ist das jetzt so korrekt?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:54 Mi 25.01.2012 | | Autor: | SEcki |
<c<b.
> Ist das jetzt so korrekt?
Ja.
SEcki
</c<b.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:14 Mi 25.01.2012 | | Autor: | Gedro |
Vielen Dank! :)
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