Zeige: f:R --> R ist "TIGSTE" < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
http://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/viewtopic.php?topic=94974 |
Aufgabe:
Eine Funktion [mm] f:\IR [/mm] -> [mm] \IR [/mm] heiße tigste im Punkt [mm] x_0, [/mm] wenn
[mm] \forall\ \delta [/mm] >0 : [mm] \exists\ \epsilon [/mm] >0 : [mm] \forall\ [/mm] x [mm] \in \IR [/mm] : [mm] \left|x-x_0 \right| [/mm] < [mm] \delta \Rightarrow \left|f(x)-f(x_0) \right| [/mm] < [mm] \epsilon
[/mm]
gilt. Zeigen Sie: Ist f in einem Punkt tigste, so ist f in allen Punkten tigste.
Meine Überlegung:
Der Unterschied zwischen der oben genannter tigster Funktion und der Definition der Stetigkeit ist nur der "Quantortausch"
Um "Tigste" zu beweisen, würde ich zuerst ein beliebiges [mm] \delta [/mm] >0 vorgeben (Beim Beweis der Stetigkeit gibt man dagegen ein [mm] \epsilon [/mm] >0 vor)
Meine Annahme (Voraussetzung) ist [mm] \left|x-x_0 \right| [/mm] < [mm] \delta [/mm] und ich muss [mm] \left|f(x)-f(x_0) \right| [/mm] < [mm] \epsilon [/mm] zeigen.
Da [mm] \delta [/mm] >0 in diesem Fall beliebig ist, kann ich auch x beliebig wählen, also
[mm] \left|x-x_1 \right| [/mm] < [mm] \delta [/mm] oder [mm] \left|x-x_0 \right| [/mm] < [mm] \delta [/mm] oder [mm] \left|x_1-x_0 \right| [/mm] < [mm] \delta [/mm] , ist das richtig?
Mein Problem ist: wie kann ich [mm] \epsilon [/mm] in Abhängigkeit von [mm] \delta [/mm] bestimmen, damit alle Bedingungen erfüllt sind?
Ich bitte um Hinweise und Erklärung (aber keine konkrete Lösung). ich bedanke mich im Voraus.
Viele Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:19 So 06.01.2008 | | Autor: | koepper |
Hallo und herzlich ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Eine Funktion [mm]f:\IR[/mm] -> [mm]\IR[/mm] heiße tigste im Punkt [mm]x_0,[/mm] wenn
>
> [mm]\forall\ \delta[/mm] >0 : [mm]\exists\ \epsilon[/mm] >0 : [mm]\forall\[/mm] x [mm]\in \IR[/mm]
> : [mm]\left|x-x_0 \right|[/mm] < [mm]\delta \Rightarrow \left|f(x)-f(x_0) \right|[/mm]
> < [mm]\epsilon[/mm]
>
> gilt. Zeigen Sie: Ist f in einem Punkt tigste, so ist f in
> allen Punkten tigste.
eine originelle Aufgabe 
> Meine Überlegung:
>
> Der Unterschied zwischen der oben genannter tigster
> Funktion und der Definition der Stetigkeit ist nur der
> "Quantortausch"
>
> Um "Tigste" zu beweisen, würde ich zuerst ein beliebiges
> [mm]\delta[/mm] >0 vorgeben (Beim Beweis der Stetigkeit gibt man
> dagegen ein [mm]\epsilon[/mm] >0 vor)
>
> Meine Annahme (Voraussetzung) ist [mm]\left|x-x_0 \right|[/mm] <
> [mm]\delta[/mm] und ich muss [mm]\left|f(x)-f(x_0) \right|[/mm] < [mm]\epsilon[/mm]
> zeigen.
>
> Da [mm]\delta[/mm] >0 in diesem Fall beliebig ist, kann ich auch x
> beliebig wählen, also
>
> [mm]\left|x-x_1 \right|[/mm] < [mm]\delta[/mm] oder [mm]\left|x-x_0 \right|[/mm] <
> [mm]\delta[/mm] oder [mm]\left|x_1-x_0 \right|[/mm] < [mm]\delta[/mm] , ist das
> richtig?
>
> Mein Problem ist: wie kann ich [mm]\epsilon[/mm] in Abhängigkeit von
> [mm]\delta[/mm] bestimmen, damit alle Bedingungen erfüllt sind?
Mach dir zuerst klar, was hier die Herausforderung ist: Ein großes delta, oder ein kleines?
Dann überlege: Ein Epsilon, das für ein .......... delta gilt, gilt auch für ein ........ delta.
Um ein "universelles " Epsilon zu bekommen, wähle also delta........
Welche Eigenschaft müßte f haben, damit die Eigenschaft "tigste" überhaupt verletzt werden kann?
Und wie sollte das gehen bei einer Funktion $f [mm] \colon \IR \to \IR$?
[/mm]
Gruß
Will
PS: Ich habe nicht das Gefühl, daß du deinen Namen verdienst 
und noch ein kleiner Hinweis...
wir sehen es hier eigentlich etwas lieber, wenn du Fragen erstmal nicht in anderen Foren stellst, weil andernfalls immer das Risiko besteht, daß 2 Leute unabhängig voneinander gleichzeitig helfen. Also Tipp: Stell die Postings nicht gleichzeitig ein, sondern in einem gewissen zeitlichen Abstand (so etwa 3-4 Stunden) nacheinander, falls du in dem einen Forum keine Hilfe bekommst.
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Hallo koepper, ich denke , bei dieser Aufgabe geht es um ein großes delta (wegen der Quantoren: zu jedem DELTA gibt es ein EPSILON...) und ein EPSILON, das für ein kleines DELTA gilt, gilt auch für großes... würde ich sagen.
Aber um ehrlich zu sein, komme ich irgendwie nicht weiter. Könntest du mir bitte genauer erklären? Ich danke dir.
Aber ist f überhaupt tigste? (würde mich interessieren)
Viele Grüße
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:13 Do 10.01.2008 | | Autor: | koepper |
Hallo,
> Hallo koepper, ich denke , bei dieser Aufgabe geht es um
> ein großes delta (wegen der Quantoren: zu jedem DELTA gibt
> es ein EPSILON...)
das überzeugt mich nicht:
Bei der Definition der Stetigkeit sind die Quantoren die gleichen, aber dort ist ein kleines Epsilon die Herausforderung.
> und ein EPSILON, das für ein kleines
> DELTA gilt, gilt auch für großes... würde ich sagen.
überleg nochmal genau...
LG
Will
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