Zeige , dass f bij. ist < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | f(x) = [mm] \bruch{1+x}{1-x}
[/mm]
Bestimme f'(x) , f''(x)
Zeige, dass f bijektiv ist. |
Hallo,
f'(x) = [mm] \bruch{2}{(1-x)^{2}}
[/mm]
f''(x) = [mm] \bruch{-4x+4}{(1-x)^{4}}
[/mm]
Bei der Bijektion habe ich eine Verständnisfrage.
Also ich weiß , dass ne Funktion bij. ist , wenn sie injektiv und surjektiv ist.
Doch, der Prof meinte , dass man in diesem Fall die Bijektion irgendwie mit der 1. Ableitung zeigen kann, weil sie immer größer 0 ist.
Wie ist das gemeint ? Was für ein Zusammenhang besteht zwischen einer Bijektion und der (ersten) Ableitung ?
Vielen Dank im Voraus.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:53 Mi 25.06.2014 | | Autor: | fred97 |
> f(x) = [mm]\bruch{1+x}{1-x}[/mm]
> Bestimme f'(x) , f''(x)
> Zeige, dass f bijektiv ist.
Mir fehlt hier der Definitionsbereich und der Zielbereich ! Ohne diese Angaben ist die Frage nach der Bijektivität ziemlich sinnlos.
>
> Hallo,
>
> f'(x) = [mm]\bruch{2}{(1-x)^{2}}[/mm]
>
> f''(x) = [mm]\bruch{-4x+4}{(1-x)^{4}}[/mm]
>
> Bei der Bijektion habe ich eine Verständnisfrage.
> Also ich weiß , dass ne Funktion bij. ist , wenn sie
> injektiv und surjektiv ist.
>
> Doch, der Prof meinte , dass man in diesem Fall die
> Bijektion irgendwie mit der 1. Ableitung zeigen kann, weil
> sie immer größer 0 ist.
>
> Wie ist das gemeint ? Was für ein Zusammenhang besteht
> zwischen einer Bijektion und der (ersten) Ableitung ?
Ist I ein Intervall in [mm] \IR [/mm] und ist f:I [mm] \to \IR [/mm] differenzierbar auf I und ist f'(x)>0 für alle x [mm] \in [/mm] I, so ist f auf I streng wachsend und damit auf I injektiv.
FREd
>
> Vielen Dank im Voraus.
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Hallo FRED, danke für die Antwort.
ALso f ist immer: f : I -> [mm] \IR
[/mm]
Def.bereich von f ist halt [mm] \IR [/mm] \ {1}
Sagt der Satz aber dann nicht nur aus , dass die FUnktion nur injektiv ist. Was ist mit der Surjektivität ?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:02 Mi 25.06.2014 | | Autor: | fred97 |
> Hallo FRED, danke für die Antwort.
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> ALso f ist immer: f : I -> [mm]\IR[/mm]
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> Def.bereich von f ist halt [mm]\IR[/mm] \ {1}
>
> Sagt der Satz aber dann nicht nur aus , dass die FUnktion
> nur injektiv ist. Was ist mit der Surjektivität ?
Ich habs doch oben gesagt: ohne Angabe von Def. Bereich und Zielbereich ist die Frage sinnlos !
$f: [mm] \IR \setminus \{1\} \to \IR$ [/mm] ist nicht surjektiv, das f den Wert -1 nicht annimmt.
$f: [mm] \IR \setminus \{1\} \to \IR \setminus \{-1\}$ [/mm] ist surjektiv. Zeige das.
FRED
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:04 Mi 25.06.2014 | | Autor: | pc_doctor |
Hallo nochmal,
ahh okay , jetzt leuchtet es ein. Alles klar , vielen Dank.
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