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| Aufgabe | Hi,
Ich hätte folgende Frage an euch:
Seien [mm] −\infty \le [/mm] a < b [mm] \le \infty. [/mm] Zeige, dass:
[mm] \int_{\mu+a\sigma}^{\mu+b\sigma} \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{1}{2} \left(\frac{t-\mu}{\sigma}\right)^2} \mathrm [/mm] dt = [mm] \int_{a}^{b} \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{1}{2} \left(t\right)^2} \mathrm [/mm] dt
Danke |
Ich weiß leider nicht wie ich da weiterkommen soll. Links steht doch die allgemeine Normalverteilung und rechts die Standartisierte Normalverteilung.
Sprich nehme ich für den Erwatungswert =0 und die Varianz = 1 -> [mm] N(\mu, \sigma) [/mm] = N(0,1)
Nun setze ich dies in die Linke Seite der Gleichung ein und erhalte die Rechte Seite
Könnt ihr mir bitte hefen, stehe echt auf der Leitung
mfg
steffen
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Hallo Steffen2361,
> Hi,
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> Ich hätte folgende Frage an euch:
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> Seien [mm]−\infty \le[/mm] a < b [mm]\le \infty.[/mm] Zeige, dass:
>
> [mm]\int_{\mu+a\sigma}^{\mu+b\sigma} \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{1}{2} \left(\frac{t-\mu}{\sigma}\right)^2} \mathrm[/mm]
> dt = [mm]\int_{a}^{b} \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{1}{2} \left(t\right)^2} \mathrm[/mm]
> dt
>
> Danke
> Ich weiß leider nicht wie ich da weiterkommen soll. Links
> steht doch die allgemeine Normalverteilung und rechts die
> Standartisierte Normalverteilung.
>
> Sprich nehme ich für den Erwatungswert =0 und die Varianz
> = 1 -> [mm]N(\mu, \sigma)[/mm] = N(0,1)
>
> Nun setze ich dies in die Linke Seite der Gleichung ein und
> erhalte die Rechte Seite
>
> Könnt ihr mir bitte hefen, stehe echt auf der Leitung
>
Um die Gleichheit der beiden Integrale zu zeigen,
ist eine Substitution auszuführen.
> mfg
> steffen
Gruss
MathePower
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Ach ok danke
Ich substituire mit
u= [mm] \frac{t-\mu}{\sigma}
[/mm]
Komme dann auf
[mm] $\bruch{du}{dt} [/mm] = [mm] \bruch{1}{\sigma} \rightarrow [/mm] dt = du * [mm] \sigma$
[/mm]
Dies setze ich nun in mein Intragl ein
$ [mm] \int_{\phi(\mu+a\sigma)}^{\phi(\mu+b\sigma)} \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{1}{2} \left(u\right)^2} [/mm] du * [mm] \sigma \mathrm [/mm] $
Nun streicht sich das Sigma weg und noch die Grenzen ausrechnen, sprich:
[mm] \phi(\mu+a\sigma) [/mm] = [mm] \bruch{\mu+a\sigma - \mu}{\sigma} [/mm] = a
[mm] \phi(\mu+b\sigma) [/mm] = [mm] \bruch{\mu+b\sigma - \mu}{\sigma} [/mm] = b
Ergibt:
$ [mm] \int_{a}^{b} \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{1}{2} \left(u\right)^2} [/mm] du [mm] \mathrm [/mm] $
Hast du das so gemeint?
Danke
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Hallo Steffen2361,
> Ach ok danke
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> Ich substituire mit
>
> u= [mm]\frac{t-\mu}{\sigma}[/mm]
>
> Komme dann auf
>
> [mm]\bruch{du}{dt} = \bruch{1}{\sigma} \rightarrow dt = du * \sigma[/mm]
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> Dies setze ich nun in mein Intragl ein
>
> [mm]\int_{\phi(\mu+a\sigma)}^{\phi(\mu+b\sigma)} \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{1}{2} \left(u\right)^2} du * \sigma \mathrm[/mm]
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> Nun streicht sich das Sigma weg und noch die Grenzen
> ausrechnen, sprich:
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> [mm]\phi(\mu+a\sigma)[/mm] = [mm]\bruch{\mu+a\sigma - \mu}{\sigma}[/mm] = a
>
> [mm]\phi(\mu+b\sigma)[/mm] = [mm]\bruch{\mu+b\sigma - \mu}{\sigma}[/mm] = b
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> Ergibt:
>
> [mm]\int_{a}^{b} \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{1}{2} \left(u\right)^2} du \mathrm[/mm]
>
> Hast du das so gemeint?
>
Ja. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Danke
Gruss
MathePower
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