Zeige Isomorphismus < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 04:20 So 19.01.2014 | | Autor: | Cccya |
| Aufgabe | Die lineare Abbildung f: R2 --> R2 sei durch f(a,b) = ( a+b, a+2b)
gegeben.
(a) Zeigen Sie, dass f ein Isomorphismus ist und geben Sie die Umkehrabbildung.
(b) Bestimmen Sie die Matrix A von f, B von f^-1 und C von f^-1 o f bezüglich der Standardbasis des R2.
f^-1 explizit an. |
Ist f^-1: f^-1(x,y) =(x-(-x+y), -x+y) ?
Dann wäre A = [mm] \pmat{ 1 & 1 \\ 1 & 2 }
[/mm]
B = [mm] \pmat{ 2 & -1 \\ -1 & 2 }
[/mm]
C = [mm] \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 }
[/mm]
Für a) bräuchte ich einen Tipp wie ich hier am Besten Injektivität und Surjektivität zeigen kann?
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:45 So 19.01.2014 | | Autor: | Sax |
Hi,
> Die lineare Abbildung f: R2 --> R2 sei durch f(a,b) = (
> a+b, a+2b)
> gegeben.
> (a) Zeigen Sie, dass f ein Isomorphismus ist und geben Sie
> die Umkehrabbildung.
>
> (b) Bestimmen Sie die Matrix A von f, B von f^-1 und C von
> f^-1 o f bezüglich der Standardbasis des R2.
> f^-1 explizit an.
> Ist f^-1: f^-1(x,y) =(x-(-x+y), -x+y) ?
Jawoll !
Aber : 1.: Wie kommst du darauf ? und 2.: Zusammenfassen.
> Dann wäre A = [mm]\pmat{ 1 & 1 \\ 1 & 2 }[/mm]
Richtig.
> B = [mm]\pmat{ 2 & -1 \\ -1 & 2 }[/mm]
Hier hat sich ein Schreibfehler eingeschlichen.
>
> C = [mm]\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 }[/mm]
Stimmt. (Diese Einheitsmatrix gehört immer zu [mm] $f^{-1} \circ [/mm] f $ .)
>
> Für a) bräuchte ich einen Tipp wie ich hier am Besten
> Injektivität und Surjektivität zeigen kann?
Am Besten wäre es, wenn ihr Sätze über den Zusammenhang zwischen dem Rang einer Matrix und diesen Begriffen behandelt habt, die du hier anwenden kannst.
Ansonsten:
Für Injektivität : Nimm an, dass f(a,b) = f(c,d). Stelle ein Gleichungssystem auf und folgere, dass a=c und b=d und somit (a,b)=(c,d) sein muss.
Für Surjektivität : Weise nach, dass es zu jedem (u,v) ein (a,b) gibt, so dass f(a,b)=(u,v) ist. Dabei kann dir [mm] f^{-1} [/mm] helfen.
Gruß Sax.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:17 Mo 20.01.2014 | | Autor: | Cccya |
Aus f(a,b) = f(c,d) mit a,b,c,d [mm] \in [/mm] R folgt das Gleichungssystem
a+b = c + d und a+ 2b = c +2d
a = c+d-b
c+d-b+2b = c+ 2d
=> b = d und damit auch a = c und f(a, b) = f(c, d) nur für (a, b)= (c, d)
Somit ist f injektiv und da dim (R2) = dim (R2) < [mm] \infty [/mm] und f linear ist das äquivalent zu f bijektiv. Eine Funktion heißt Isomorphismus, wenn sie bijektiv und linear ist.
Auf f^-1 komme ich indem ich (f o f^-1)(x, y) = (x,y) löse.
B = [mm] \pmat{ 2 & -1 \\ -1 & 1 } [/mm] oder?
Kann ich das so machen? Vielen Dank für die Hilfe!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 07:46 Mo 20.01.2014 | | Autor: | fred97 |
> Aus f(a,b) = f(c,d) mit a,b,c,d [mm]\in[/mm] R folgt das
> Gleichungssystem
> a+b = c + d und a+ 2b = c +2d
>
> a = c+d-b
>
> c+d-b+2b = c+ 2d
>
> => b = d und damit auch a = c und f(a, b) = f(c, d) nur
> für (a, b)= (c, d)
> Somit ist f injektiv und da dim (R2) = dim (R2) < [mm]\infty[/mm]
> und f linear ist das äquivalent zu f bijektiv. Eine
> Funktion heißt Isomorphismus, wenn sie bijektiv und linear
> ist.
>
> Auf f^-1 komme ich indem ich (f o f^-1)(x, y) = (x,y)
> löse.
>
> B = [mm]\pmat{ 2 & -1 \\ -1 & 1 }[/mm] oder?
> Kann ich das so machen? Vielen Dank für die Hilfe!
>
>
Alles richtig.
FRED
|
|
|
|
