Zeige Existenz eines Minimums < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Es sei p(z) ein Polynom und R > 0. Zeigen Sie, dass das Minimum
min{|p(z)||z ∈ C, |z| ≤ R}
existiert(d.h. dass das Infimum angenommen wird.
Als Hinweise steht:
1) Zeigen Sie es existiert eine Folge (zn) n>=1 mit |p(zn)| -> inf M
2) Zeigen sie das diese Folge eine konvergente Teilfolge besitzt. (Der Limes zei z)
3. Zeigen Sie |z|<=R und |p(z)| inf M. |
Hallo ich bräuchte hier noch etwas Hilfe.
zu 1): Da M ja nach unten beschränkt ist (durch 0) folgt, dass es in M eine Folge geben muss die gegen infM konvergiert.
Also folgt es gibt eine Folge (zn)n>=1 mit der Eigenschaft |p(zn)| -> infM
zu 2) da zn <= R für jedes n>=1 folgt das die Folge beschränkt ist. Somit ist auch gezeigt, dass diese Folge zumindest einen Häufungspunkt hat. Also muss es eine Teilfolge geben die gegen diesen Häufungspunkt konvergiert. Wie im Hinweis definiere ich den Grenzwert dieser Teilfolge dann als z.
zu 3) Hier fehlt mir nun wie ich zeigen kann, dass |z| <= R ist also (Hier ist der Grenzwert gemeint).
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 05:06 Mi 09.12.2015 | | Autor: | fred97 |
> Es sei p(z) ein Polynom und R > 0. Zeigen Sie, dass das
> Minimum
> min{|p(z)||z ∈ C, |z| ≤ R}
> existiert(d.h. dass das Infimum angenommen wird.
Ich nehme an, dass im Folgenden mit M diese Menge gemeint ist:
[mm] M=\{|p(z)|:z \in \IC, |z| \le R\}
[/mm]
>
> Als Hinweise steht:
> 1) Zeigen Sie es existiert eine Folge (zn) n>=1 mit
> |p(zn)| -> inf M
> 2) Zeigen sie das diese Folge eine konvergente Teilfolge
> besitzt. (Der Limes zei z)
> 3. Zeigen Sie |z|<=R und |p(z)| inf M.
>
> Hallo ich bräuchte hier noch etwas Hilfe.
>
> zu 1): Da M ja nach unten beschränkt ist (durch 0) folgt,
> dass es in M eine Folge geben muss die gegen infM
> konvergiert.
>
> Also folgt es gibt eine Folge (zn)n>=1 mit der Eigenschaft
> |p(zn)| -> infM
..... und [mm] |z_n| \le [/mm] R für jedes n.
>
> zu 2) da zn <= R für jedes n>=1
Nein, sondern [mm] |z_n| \le [/mm] R für jedes n [mm] \ge [/mm] 1.
> folgt das die Folge
> beschränkt ist. Somit ist auch gezeigt, dass diese Folge
> zumindest einen Häufungspunkt hat. Also muss es eine
> Teilfolge geben die gegen diesen Häufungspunkt
> konvergiert. Wie im Hinweis definiere ich den Grenzwert
> dieser Teilfolge dann als z.
O.K.
>
> zu 3) Hier fehlt mir nun wie ich zeigen kann, dass |z| <= R
> ist also (Hier ist der Grenzwert gemeint).
Nennen wir obige Teilfolge [mm] (z_{n_k}). [/mm] Dann: [mm] z_{n_k} \to [/mm] z für k [mm] \to \infty, [/mm] somit auch
[mm] |z_{n_k}| \to [/mm] |z| für k [mm] \to \infty.
[/mm]
Wegen [mm] |z_{n_k}| \le [/mm] R für alle k, folgt |z| [mm] \le [/mm] R.
FRED
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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Hallo , danke für die Antwort und die Korrektur in Punkt 2 :).
Aber woher weiss ich, wenn znk -> z [mm] (k->\infty), [/mm] dass dieser Wert auch eingenommen wird? Der könnte rein theoretisch doch auch ausserhalb (der Kreisscheibe) liegen oder nicht? Mir ist hier nicht ganz klar warum der Grenzwert drin liegen muss.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:50 Mi 09.12.2015 | | Autor: | fred97 |
> Hallo , danke für die Antwort und die Korrektur in Punkt 2
> :).
>
> Aber woher weiss ich, wenn znk -> z [mm](k->\infty),[/mm] dass
> dieser Wert auch eingenommen wird? Der könnte rein
> theoretisch doch auch ausserhalb (der Kreisscheibe) liegen
> oder nicht? Mir ist hier nicht ganz klar warum der
> Grenzwert drin liegen muss.
Dass
$ [mm] |z_{n_k}| \to [/mm] |z|$ für $k [mm] \to \infty [/mm] $
gilt, ist Dir klar ?
Schön, denn jetzt haben es wir mit einer Folge in [mm] \IR [/mm] zu tun.
Das hattet Ihr sicher:
Sätzchen: Ist [mm] (a_k) [/mm] eine konvergente Folge in [mm] \IR [/mm] und gilt mit einem $c [mm] \in \IR$
[/mm]
[mm] $a_k \le [/mm] c$ für alle $k [mm] \in \IN,$
[/mm]
so gilt auch
[mm] $\limes_{k\rightarrow\infty}a_k \le [/mm] c$.
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FRED
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