Zeig: LGS-nichttriviale Lösung < Gleichungssysteme < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:49 Mi 12.11.2008 | | Autor: | uniklu |
| Aufgabe | Zeige: Das LGS
x + y + [mm] \alpha [/mm] z = 0
x + y + [mm] \beta [/mm] z = 0
[mm] \alpha [/mm] x + [mm] \beta [/mm] y + z = 0
hat genau dann eine nichttriviale Lösung, wenn [mm] \alpha [/mm] = [mm] \beta [/mm] gilt. |
Hallo!
Wie kann man den obigen Beweis zeigen?
Ein LGS [mm] A\vec{x} [/mm] = [mm] \vec{b} [/mm] hat eine nichttriviale Lösung wenn alle Elemente aus dem Vektor x != 0 sind.
Also A * [mm] \pmat{0 \\ \vdots \\ 0 } [/mm] = [mm] \vec{0} [/mm] wäre eine triviale Lösung
reicht es einfach wenn ich elementare Zeilenoperationen durchführe?
Also z.B. zweite Zeile - erster Zeile
damit würde sich ergeben
x + y + [mm] \alpha [/mm] z - x - y - [mm] \beta [/mm] z = 0
=> [mm] \alpha [/mm] z - [mm] \beta [/mm] z = 0
=> [mm] \alpha [/mm] z = [mm] \beta [/mm] z
=> [mm] \alpha [/mm] = [mm] \beta
[/mm]
|
|
| |
|
Hallo uniklu,
ich denke, das reicht nicht ganz, denn du musst ja eine Äquivalenz zeigen.
Ich würde es schnell und elegant mit der Determinante begründen.
Eine quadratische Matrix A ist genau dann invertierbar, wenn ihre Determinante [mm] det(A)\neq [/mm] 0 ist
Hier mit der Koeffizientenmatrix [mm] $A=\pmat{1&1&\alpha\\1&1&\beta\\\alpha&\beta&1}$
[/mm]
Bestimme die Determinante (mit Sarrus) und schaue, wann die [mm] $\neq [/mm] 0$ ist. Genau dann ist $A$ invertierbar, es gibt in dem Fall also nur die triviale Lösung
Im Umkehrschluss ist dann natürlich
[mm] $det(A)=0\gdw [/mm] A$ nicht invertierbar, also ex. eine nicht-triviale Lösung
LG
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:08 Mi 12.11.2008 | | Autor: | uniklu |
Hallo schachuzipus!
Mit der Regel von Sarrus kommt man schnell auf:
(1*1*1 - [mm] \alpha [/mm] * 1 * [mm] \alpha) [/mm] +
(1 * [mm] \beta [/mm] * [mm] \alpha [/mm] - [mm] \beta [/mm] * [mm] \beta [/mm] * 1) +
[mm] (\alpha [/mm] * 1 * [mm] \beta [/mm] - 1*1*1) =
- [mm] \alpha^2 [/mm] + [mm] \alpha \beta [/mm] - [mm] \beta^2
[/mm]
Meine Matrix ist genau dann invertierbar wenn der Kern(A) != { 0^> }
Wenn meine Matrix invertierbar ist, existiert keine nichttriviale Lösung.
Wann komme ich auf det(A) = 0?
nur wenn nach Vorbedingung [mm] \alpha [/mm] = [mm] \beta [/mm] ist
wobei nur [mm] \alpha [/mm] = 0 = [mm] \beta [/mm] Null ergbit.
Damit gibt es nur eine triviale Lösung!
Stimmt das so?
lg
|
|
|
| |
|
Hallo nochmal,
ich komme mit Sarrus auf [mm] $\underbrace{\alpha\beta+\beta\alpha}_{=2\alpha\beta}-\alpha^2-\beta^2=-(\alpha-\beta)^2$
[/mm]
Und das ist [mm] $=0\gdw \alpha=\beta$
[/mm]
Also genau für den Fall keine Invertierbarkeit und damit eine nicht-triviale Lösung
LG
schachuzipus
|
|
|
|
