Zahlkörper und Norm < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:28 Mi 06.01.2010 | | Autor: | algieba |
| Aufgabe | Zeigen oder widerlegen sie:
Sei [mm]K/\IQ[/mm] ein Zahlkörper. Für gegebenes [mm]n \in \IZ[/mm] gibt es nur endlich viele Elemente mit Norm n. |
Ich sitze schon ewig an dieser Aufgabe und komme auf keinen Ansatz. Ich vermute dass es nicht stimmt aber ich kann es leider nicht begründen.
Vielen Dank
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:25 Mi 06.01.2010 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Zeigen oder widerlegen sie:
> Sei [mm]K/\IQ[/mm] ein Zahlkörper. Für gegebenes [mm]n \in \IZ[/mm] gibt es
> nur endlich viele Elemente mit Norm n.
>
> Ich sitze schon ewig an dieser Aufgabe und komme auf
> keinen Ansatz. Ich vermute dass es nicht stimmt aber ich
> kann es leider nicht begründen.
Hast du es mal ausprobiert?
Wieviele Elemente gibt es z.B. in [mm] $\IQ(\sqrt{2})$ [/mm] der Norm 1?
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:49 Mi 06.01.2010 | | Autor: | algieba |
Ich habe jetzt mal einen Ansatz:
Sei [mm] x=a+b\wurzel{2}[/mm] dann ist die Multiplikationsmatrix
[mm] m_{x} = \pmat{ a & 2b \\ b & a } [/mm]
Die Norm von x ist dann [mm]det(m_{x}) = a^2-2b^2[/mm]
Diese Norm soll 1 sein also: [mm]1 = a^2-2b^2[/mm]
Diese Gleichung hat unendlich viele Lösungen für a und b, also gibt es unendlich viele Elemente mit Norm 1. Damit ist die Aussage widerlegt.
qed
Stimmt das?
Danke für deine Hilfe!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:57 Mi 06.01.2010 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Ich habe jetzt mal einen Ansatz:
> Sei [mm]x=a+b\wurzel{2}[/mm] dann ist die Multiplikationsmatrix
>
> [mm]m_{x} = \pmat{ a & 2b \\ b & a }[/mm]
>
> Die Norm von x ist dann [mm]det(m_{x}) = a^2-2b^2[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Diese Norm
> soll 1 sein also: [mm]1 = a^2-2b^2[/mm]
Genau.
> Diese Gleichung hat
> unendlich viele Lösungen für a und b, also gibt es
> unendlich viele Elemente mit Norm 1.
Das stimmt, aber ganz trivial ist es nicht. Warum gibt es unendlich viele Loesungen in [mm] $\IQ$?
[/mm]
> Damit ist die Aussage
> widerlegt.
Ja.
LG Felix
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