Zahlentheoretisches Rätsel? < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:58 Mi 05.09.2012 | | Autor: | hilbert |
Ich habe vor kurzem die Zahlentheorie Vorlesung in der Uni gehört und bin nun auf ein Rätsel gestoßen, welches ich sehr interessant finde, jedoch keine Lösung finden kann. Wenn ich im Internet danach suche, finde ich nur die Lösung die mittels PC ausgerechnet wurde.
Vielleicht ist es aber möglich die Lösung per Logik und Zahlentheorie zu bekommen, ich hoffe ihr könnt mir helfen, hier das Rätsel:
Kevin, Hans und Stefan sollen zwei Zahlen herausfinden. Hierfür erhalten sie folgende Informationen: Beide Zahlen liegen im Bereich von 1 bis 100, und beide sind ganzzahlig. Kevin erfährt das Produkt der beiden Zahlen, Hans bekommt die Summe, und Stefan die Differenz.
Kevin: Ich kenne die Zahlen nicht.
Hans: Das brauchst Du mir nicht zu sagen, denn das wusste ich schon.
Kevin: Dann kenne ich die Zahlen jetzt.
Hans: Ich kenne sie jetzt auch.
Stefan: Ich kenne die beiden Zahlen noch nicht. Ich kann nur eine Zahl vermuten, die wahrscheinlich dabei ist, aber sicher weiß ich's nicht.
Kevin: Ich weiß, welche Zahl Du vermutest, aber die ist falsch.
Stefan: OK, dann kenne ich jetzt auch beide Zahlen.
Wenn ich das jetzt Schritt für Schritt durchgehe habe ich folgende Gedanken:
Kevin: Ich kenne die Zahlen nicht
Dies heißt für mich alle Paare (1,p) p prim fallen weg, sowie alle Paare (p,q) p,q prim p*q > 100.
usw.
Kann man das so lösen? Weil mögliche Zahlenpaare wären 10000, was ja zur Hilfenahme eines PCs verleitet.
Vielen Dank für die Hilfe!
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Hallo hilbert,
hübsche Aufgabe. Du verwertest aber noch längst nicht alle Informationen.
> Kevin, Hans und Stefan sollen zwei Zahlen herausfinden.
> Hierfür erhalten sie folgende Informationen: Beide Zahlen
> liegen im Bereich von 1 bis 100, und beide sind ganzzahlig.
> Kevin erfährt das Produkt der beiden Zahlen, Hans bekommt
> die Summe, und Stefan die Differenz.
>
> Kevin: Ich kenne die Zahlen nicht.
In der Tat: (1;p) ist nicht möglich. (p;q) mit [mm] p,q\in\IP [/mm] schon, aber dann würde Kevin wohl wenigstens äußern, dass er eine Vermutung hat.
> Hans: Das brauchst Du mir nicht zu sagen, denn das wusste
> ich schon.
Hans weiß etwas. Es gibt also keine eindeutige faktorielle Zerlegung incl. (1;p). Das Produkt ist also nicht prim. Die Summe, die Hans weiß, kann also nicht p+1 sein.
> Kevin: Dann kenne ich die Zahlen jetzt.
Es folgt damit, dass das Produkt tatsächlich pq ist, aber pq-1 nicht prim ist.
> Hans: Ich kenne sie jetzt auch.
Hier liegt der Knackpunkt für weitere Überlegungen. Den lasse ich daher Dir selbst.
> Stefan: Ich kenne die beiden Zahlen noch nicht. Ich kann
> nur eine Zahl vermuten, die wahrscheinlich dabei ist, aber
> sicher weiß ich's nicht.
Das machen wir dann mal später. Wie kommt Stefan wohl zu dieser Aussage? Eine Zahl kommt wohl in dem allergrößten Teil der möglichen Lösungen vor.
> Kevin: Ich weiß, welche Zahl Du vermutest, aber die ist
> falsch.
Damit ist klar: die vermutete Zahl kommt in allen Lösungen außer einer vor...
> Stefan: OK, dann kenne ich jetzt auch beide Zahlen.
..., denn sonst könnte Stefan die Aufgabe jetzt nicht lösen.
> Wenn ich das jetzt Schritt für Schritt durchgehe habe ich
> folgende Gedanken:
> Kevin: Ich kenne die Zahlen nicht
>
> Dies heißt für mich alle Paare (1,p) p prim fallen weg,
> sowie alle Paare (p,q) p,q prim p*q > 100.
> usw.
> Kann man das so lösen? Weil mögliche Zahlenpaare wären
> 10000, was ja zur Hilfenahme eines PCs verleitet.
Wie gesagt, ist das zu wenig. Denk mal über die Hinweise oben nach.
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:27 Do 06.09.2012 | | Autor: | hilbert |
Ein paar Sachen wusste ich schon, ich wollte nur erst wissen ob ich so zum Ziel komme, da ich im Internet lediglich Computerbasierende Lösungen gefunden habe.
Ich versuchs mal.
Aus der 1. Aussage lassen sich alle Zahlenpaare (1,p) ausschließen, sowie alle Produkte von Primzahlen deren Produkt größer als 100 ist.
Aus der 2. Aussage von Hans bekomme ich doch keine zusätzliche Information oder? 1+p Fällt ja schon aus Aussage 1 raus. Aber hier muss ja was passieren, sonst könnte Kevin die Zahlen ja nicht kennen.
Deinen Hinweis zu Aussage 3 verstehe ich nicht, wieso folgt aus Kevins Aussage jetzt dass das Produkt wirklich pq ist?
Die Lösung soll (64,73) sein, was ja schonmal nicht zu 2 Primzahlen passt =/
Das mit der Differenz hatte ich mir schon so überlegt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:13 Do 06.09.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
Wenn das Produkt aus 2 Primzahlen bestünde , oder selbst prim wäre, wüste Kevin die Lösung direkt. also kommt anders als Reverend sagt [mm] (p,q)\in \IP [/mm] nicht in Frage!
Damit Hans das vorhersehen konnte muss die Summe ungerade sein
also aus einer geraden und einer ungeraden Zahl bestehen, aber die gerade Zahl darf nicht 2 sein, also muss seine (Summe-2)>50 sein!
daraus kann jetzt Kevin folgern...
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:17 Do 06.09.2012 | | Autor: | felixf |
Moin,
> Wenn das Produkt aus 2 Primzahlen bestünde, wüste Kevin die Lösung direkt.
das verstehe ich nicht ganz. Da 1 zugelassen wird, kann Kevin die Paare $(1, pq)$ und $(p, q)$ doch nicht auseinanderhalten.
LG Felix
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