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| Aufgabe | | Bestimmen Sie eine natürliche Zahl a und unendlich viele Moduln m derart, dass die Kongruenz [mm] x^{3} \equiv a\ mod\ m [/mm] jeweils genau 9 verschiedene Lösungen x mod m hat. Geben Sie ein Beispiel für m. |
Hallo erstmal!
Ich weiß leider nicht so genau, ob ich mit meinen Ausführungen zu obiger Aufgabe bis jetzt auf dem richtigen Weg bin.
Bis jetzt habe ich:
a muss 3. Potenzrest von [mm] m=(m_{1}*m_{2}) [/mm] sein und ggt [mm] (m_{1}-1, [/mm] 3) und [mm] ggt(m_{2}-1, [/mm] 3) muss gleich 3 sein. Somit hätte ich nach dem chin. Restsatz insgesamt [mm] 3^{2} [/mm] = 9 Lösungen.
[mm] \Rightarrow m_{1,2} [/mm] = k*3 + 1 für k [mm] \ge [/mm] 2 mit [mm] m_{1,2} [/mm] prim
Ist das richtig und wie komme ich jetzt weiter?
Danke schonmal für eure Hilfe,
Gruß, Maren
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:53 Fr 23.03.2007 | | Autor: | wauwau |
Genial wie du das gemacht hast - Stimmt genau:
Da jede arithmetische Folge ak+d mit ggt(a,d)=1 unendl. viele Primzahlen enthält (Satz von Dirichlet), kanst du unendlich viele solche m1 und m2 und somit m konstruieren ein Beispiel ist z.B.
m1=7, m2=13, daher m=91 und z.b.: a=1
Die 9 Lösungen sind dann
1,9,16,22,29,53,74,79,81
mit a=8 wären die 9 Lösungen
2
15
18
32
44
57
58
67
71
mit a = 27
3
27
40
48
55
61
66
68
87
mit a=64
4
23
25
30
36
43
51
64
88
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