Zahlenfolgen und Konvergenz < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:36 Do 28.12.2006 | | Autor: | RalU |
| Aufgabe | Untersuchen Sie die Zahlenfolgen auf Konvergenz:
a) [mm] an=\wurzel{4n^{2}+n}-\wurzel{4n^{2}-n} [/mm] |
Mein Ansatz war, den Ausruck so zu erweitern, dass man in ihm die 3. Binomische Formel anwenden kann ( [mm] (a+b)*(a-b)=a^{2}-b^{2}).
[/mm]
Ich betrachte also den Ausdruck und erweitere mit [mm] \bruch{\wurzel{4n^{2}+n}+\wurzel{4n^{2}-n}}{\wurzel{4n^{2}+n}+\wurzel{4n^{2}-n}}
[/mm]
Also steht dann da für meinen Grenzwert:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}=(\wurzel{4n^{2}+n}-\wurzel{4n^{2}-n})*(\bruch{\wurzel{4n^{2}+n}+\wurzel{4n^{2}-n}}{\wurzel{4n^{2}+n}+\wurzel{4n^{2}-n}})
[/mm]
daraus folgt dann (wegen [mm] a^{2}-b^{2}):
[/mm]
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}=\bruch{4n^{2}+n-4n^{2}-n-4n^{2}+n+4n^{2}-n}{\wurzel{4n^{2}+n}+\wurzel{4n^{2}-n}}
[/mm]
Wenn ich das jetz weiter zusammenfasse, erhalte ich im Zähler 0.
Also wäre auch mein Grenzwert [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}= [/mm] 0, also Endergebnis konvergent gegen 0.
allerdings weiß ich nicht, ob das korrekt ist. Wenn nicht, wo liegt mein Fehler?
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:44 Do 28.12.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo RalU!
Du machst einen Vorzeichenfehler bei der Anwendung der 3. binomischen Formel im Zähler:
[mm] $\left( \ \wurzel{4n^2+n}-\wurzel{4n^2-n} \ \right)*\left( \ \wurzel{4n^2+n}+\wurzel{4n^2-n} \ \right) [/mm] \ = \ [mm] \left( \ \wurzel{4n^2+n} \ \right)^2 [/mm] - [mm] \left( \ \wurzel{4n^2-n} \ \right)^2 [/mm] \ = \ [mm] \left( \ 4n^2+n \ \right) [/mm] - [mm] \left( \ 4n^2-n \ \right) [/mm] \ = \ [mm] 4n^2+n-4n^2 [/mm] \ [mm] \red{+} [/mm] \ n \ = \ 2n$
Nun im Nenner $n \ = \ [mm] \wurzel{n^2}$ [/mm] ausklammern und kürzen ...
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:42 Do 28.12.2006 | | Autor: | RalU |
| Aufgabe | ok, meinen Vorzeichenfehler hab ich eingesehen. Aber mit dem kürzen hab ich Probleme.
|
Ich habe also nach dem Zusammenfassen zunächst da stehen:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}=\bruch{2n}{\wurzel{4n^{2}+n}+\wurzel{4n^{2}-n}}
[/mm]
Jetzt klammer ich, wie du sagst, [mm] \wurzel{n} [/mm] im Nenner aus:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}=\bruch{2n}{\wurzel{n^{2}}*(2+\bruch{1}{n})+\wurzel{n^{2}}*(2-\bruch{1}{n})}
[/mm]
weiter:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}=\bruch{2n}{n*(2+\bruch{1}{n})+n*(2-\bruch{1}{n})}
[/mm]
weiter:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}=\bruch{2n}{2n+1+2n-1}
[/mm]
weiter:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}=\bruch{2n}{4n}
[/mm]
weiter:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}=\bruch{1}{2}
[/mm]
oder muss ich zu Beginn schreiben:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}=\bruch{2n}{\wurzel{n^{2}*(4+\bruch{1}{n})}+\wurzel{n^{2}*(4-\bruch{1}{n})}}
[/mm]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:45 Do 28.12.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo RalU!
> oder muss ich zu Beginn schreiben: [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}=\bruch{2n}{\wurzel{n^{2}*(4+\bruch{1}{n})}+\wurzel{n^{2}*(4-\bruch{1}{n})}}[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Das sieht schon viiieeell besser aus als der andere "Rechen"weg.
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:14 Do 28.12.2006 | | Autor: | RalU |
| Aufgabe | ok, dann mach ich mal da weiter...
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}=\bruch{2n}{\wurzel{n^{2}(4+\bruch{1}{n})}+\wurzel{n^{2}(4-\bruch{1}{n})}} [/mm] |
[mm] =\limes_{n\rightarrow\infty}=\bruch{2n}{n*\wurzel{(4+\bruch{1}{n})}+n*\wurzel{(4-\bruch{1}{n})}}=
[/mm]
[mm] =\limes_{n\rightarrow\infty}=\bruch{2n}{2n+\wurzel{(\bruch{1}{n})}+2n-\wurzel{(\bruch{1}{n})}}=
[/mm]
[mm] =\limes_{n\rightarrow\infty}=\bruch{2n}{4n}
[/mm]
[mm] =\limes_{n\rightarrow\infty}=\bruch{1}{2}
[/mm]
so korrekt?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:40 Do 28.12.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo RalU!
Du kannst doch nicht einfach aus Summen und Differenzen gliedweise die Wurzel ziehen ... *grusel* (auch wenn das Endergebnis hier zufällig richtig ist).
> [mm]=\limes_{n\rightarrow\infty}=\bruch{2n}{n*\wurzel{(4+\bruch{1}{n})}+n*\wurzel{(4-\bruch{1}{n})}}=[/mm]
[mm]... \ = \ \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{2n}{n*\left( \ \wurzel{4+\bruch{1}{n}}+\wurzel{4-\bruch{1}{n}} \ \right)} \ = \ \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{2}{\wurzel{4+\bruch{1}{n}}+\wurzel{4-\bruch{1}{n}}} [/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Und nun die Grenzwertbetrachtung $n\rightarrow\infty}$ ...
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:01 Do 28.12.2006 | | Autor: | RalU |
| Aufgabe | | ok, gliedweise die Wurzel ziehen ist nicht in Ordnung. |
am Ende steht doch da:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{2n}{n\cdot{}\left( \ \wurzel{4+\bruch{1}{n}}+\wurzel{4-\bruch{1}{n}} \ \right)} [/mm] \ = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{2}{\wurzel{4+\bruch{1}{n}}+\wurzel{4-\bruch{1}{n}}}
[/mm]
und weil [mm] \bruch{1}{n} [/mm] jeweils gegen 0 geht, für n-> [mm] \infty, [/mm] erhalte ich da quasi [mm] \bruch{2n}{\wurzel{4}*\wurzel{4}} [/mm] und deshalb:
[mm] \bruch{2}{4}=\bruch{1}{2}
[/mm]
anders kann ich mir die Grenzwertbetrachtung hier nicht vorstellen, weil weiter vereinfachen des Ausdrucks kann man ja scheinbar nicht.
|
|
|
|
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]"){kind=small}
Nicht ganz. Es entsteht: [mm] $\bruch{2}{\wurzel{4} \ \red{+} \ \wurzel{4}} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{2}{2*\wurzel{4}} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{\wurzel{4}} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{2}$
[/mm]