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| Aufgabe | Betrachtet wird das Wachstum von Maispflanzen, die nach der ersten woche (vom Aufgehen der Saat gerechnet) eine Höhe von 5cm haben und nach ca. 25 Wochen geerntet werden.
Die durchschnittliche Pflanzenhöhe w (in cm) kann durch die Zahlenfolge [mm] (w_{n}) [/mm] mit der Zuordnungvorschrift [mm] w_{n+1}=w_{n}*(1,44-0,002*w_{n}); w_{1}=5,0 [/mm] beschrieben werden. Dabei sei n die Anzahl der Wachstumswochen.
Geben Sie Näherungswerte für die Folgeglieder [mm] w_{2}, w_{3} [/mm] und [mm] w_{4} [/mm] an. Die allg. Zuordnungsvorschrift für derartige Wachstumsprozesse hat die Form
[mm] w_{n+1}=w_{n}+q*w_{n}*(G-w_{n});w_{1} (G,q\inR, [/mm] q>0).
(G und q sind die Maßzahl wachstumsbestimmender Parameter).
Zeigen Sie, dass sich die Zuordnungsvorschrift der Zahlenfolge [mm] (w_{n}) [/mm] in dieser Form schreiben lässt. Geben Sie die Werte G und q für den spez. Wachstumsprozess an. |
Hallo an alle!!
Ich hab diesmal ein Problem bekommen, wo ich nicht einmal Ansatzweise weiß, wie ich an diese Aufgabe ran gehen soll. Ich hab zwar einige Ideen, aber die führen zu keinem Ergebnis. Ich wäre zu tiefst dankbar, wenn mir hier jemand weiterhelfen könnte und mir einen Ansatz zeigen könnte. Ich bin hier sonst am verzweifeln. Danke schon mal im Voraus.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
LG Leni-chan
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Hallo Leni-chan,
> Die durchschnittliche Pflanzenhöhe w (in cm) kann durch die
> Zahlenfolge [mm](w_{n})[/mm] mit der Zuordnungvorschrift
> [mm]w_{n+1}=w_{n}*(1,44-0,002*w_{n}); w_{1}=5,0[/mm] beschrieben
> werden. Dabei sei n die Anzahl der Wachstumswochen.
> Geben Sie Näherungswerte für die Folgeglieder [mm]w_{2}, w_{3}[/mm]
> und [mm]w_{4}[/mm] an.
Es handelt sich hier um eine ![[]](/images/popup.gif) Rekursion. Beispielsweise gilt:
[mm]w_1(1.44-0.002w_1)=w_2[/mm]
und dann:
[mm]w_2(1.44-0.002w_2)=w_3[/mm]
u.s.w.
Da du [mm]w_1[/mm] gegeben hast, kannst du nun alle gesuchten Werte nacheinander berechnen.
> Die allg. Zuordnungsvorschrift für derartige
> Wachstumsprozesse hat die Form
> [mm]w_{n+1}=w_{n}+q*w_{n}*(G-w_{n});w_{1} (G,q\inR,[/mm] q>0).
> (G und q sind die Maßzahl wachstumsbestimmender
> Parameter).
> Zeigen Sie, dass sich die Zuordnungsvorschrift der
> Zahlenfolge [mm](w_{n})[/mm] in dieser Form schreiben lässt. Geben
> Sie die Werte G und q für den spez. Wachstumsprozess an.
Formen wir die gesuchte Form doch etwas um:
[mm]w_{n+1} = w_n + qw_n\left(G-w_n\right) = w_n + qGw_n - qw_n^2= (1+qG)w_n-qw_n^2[/mm]
und jetzt schau' nochmal auf das, was du gegeben hast (multipliziere aus) und erkenne die Ähnlichkeit der Terme. Setze also dein q ein und ermittle G.
Grüße
Karl
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Also danke erst mal für den ersten Aufgabenteil. Aber ich hab zum 2. Teil doch noch eine Frage. Und zwar ist mir klar, wie du auf die Umformung [mm] w_{n+1}=w_{n}(1+qG)-qw_{n}^{2} [/mm] kommst. Aber wenn ich das mit der oben gegebenen Form vergleiche, weiß ich wirklich nicht, wie ich daraus durch nochmaliges Ausklammern auf P und q schließen soll. Also ich soll doch dann diesen Term mit dem hier vgl. [mm] w_{n+1}=w_{n}(1,44-0,002w_{n}) [/mm] ? Eine Ähnlichkeit erkenne ich ja, aber nicht wie es weitergehen soll.
Mich stört eigentlich nur dieses [mm] qw_{n}^{2}.
[/mm]
Gruß Leni-chan
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Also ich versuch' es nochmal ganz deutlich zu machen. Du hast also Folgendes:
[mm]w_{n+1}=w_{n}\red{(1+qG)}-\blue{q}w_{n}^{2}[/mm]
und
[mm]w_{n+1}=w_{n}(1.44-0.002w_{n}) = \red{1.44}w_n - \blue{0.002}w_n^2.[/mm]
Erkennst du es jetzt?
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| Aufgabe | Für jeden Wert der Parameter a bzw. b soll dieser Wachstumsprozess nun durch die stetige Wachstumsfkt. h mit [mm] w=h(t)=\bruch{220}{1+be^{-at}} (t\in [/mm] R, [mm] 1\le [/mm] t [mm] \le25) [/mm] beschrieben werden, wobei h(t) der Pflanzenhöhe der Maispflanze zur Zeit t (in Wochen) entspricht.
Zeigen Sie, dass die Fkt. h folgender Gleichung genügt:
[mm] \bruch{d}{dt}h(t)=\bruch{a}{220}*h(t)*(220-h(t)).
[/mm]
(Dabei ist [mm] \bruch{d}{dt}h(t) [/mm] die erste Ableitung der Fkt. h(t) nach t. Sie beschreibt die Wachstumsgeschw. der Pflanzen) |
Also ich hab zur ersten Aufgabe jetzt für q=0,002 und für G=220 raus, dank der Hinweise. ^_^
Aber meine Probleme gehen gleich, bei dieser nächsten Aufgabe weiter. Und zwar hab ich mir hier gedacht, dass ich erst mal h(t) ableite und dabei kommt dann [mm] h'(t)=\bruch{220abe^{-at}}{(1+be^{-at})^{2}} [/mm] nach Quotientenregel heraus. Dann hab ich in die 2. Gleichung mit [mm] \bruch{d}{dt}h(t) [/mm] auch noch h(t) eingesetzt und umgeformt. Da komme ich am Ende dann auf [mm] \bruch{d}{dt}h(t)=\bruch{220a}{1+be^{-at}}-\bruch{220a}{(1+be^{-at})^{2}}. [/mm] Und wenn ich jetzt von der Aufgabenstellung ausgehe, dann müssen ja diese beiden Terme ja am Ende gleich sein, um den Sachverhalt zu zeigen. Da sehe ich aber wieder einmal keine Möglichkeit. Oder kann es sein, dass ich die Aufgabenstellung falsch verstanden hab? Hilfe wird dankend angenommen.
LG Leni-chan
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Hallo Leni-chan,
> Für jeden Wert der Parameter a bzw. b soll dieser
> Wachstumsprozess nun durch die stetige Wachstumsfkt. h mit
> [mm]w=h(t)=\bruch{220}{1+be^{-at}} (t\in[/mm] R, [mm]1\le[/mm] t [mm]\le25)[/mm]
> beschrieben werden, wobei h(t) der Pflanzenhöhe der
> Maispflanze zur Zeit t (in Wochen) entspricht.
>
> Zeigen Sie, dass die Fkt. h folgender Gleichung genügt:
> [mm]\bruch{d}{dt}h(t)=\bruch{a}{220}*h(t)*(220-h(t)).[/mm]
> (Dabei ist [mm]\bruch{d}{dt}h(t)[/mm] die erste Ableitung der Fkt.
> h(t) nach t. Sie beschreibt die Wachstumsgeschw. der
> Pflanzen)
> Also ich hab zur ersten Aufgabe jetzt für q=0,002 und für
> G=220 raus, dank der Hinweise. ^_^
> Aber meine Probleme gehen gleich, bei dieser nächsten
> Aufgabe weiter. Und zwar hab ich mir hier gedacht, dass ich
> erst mal h(t) ableite und dabei kommt dann
> [mm]h'(t)=\bruch{220abe^{-at}}{(1+be^{-at})^{2}}[/mm] nach
> Quotientenregel heraus.
Das ist richtig! ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Formen wir dein Ergebnis noch etwas weiter um:
[mm]h'(t) = \frac{220abe^{-at}}{\left(1+be^{-at}\right)^2} = \frac{220}{1+be^{-at}}\frac{abe^{-at}}{1+be^{-at}} = \frac{abe^{-at}}{1+be^{-at}}h(t)[/mm]
Jetzt setzen wir das mit dem obigen Term für [mm]h'(t)[/mm] gleich:
[mm]\renewcommand{\arraystretch}{2.5}\begin{array}{ll}
\displaystyle\frac{abe^{-at}}{1+be^{-at}}h(t) & \displaystyle= \frac{a}{220}h(t)(220-h(t))\gdw\frac{abe^{-at}}{1+be^{-at}} = \frac{a}{220}(220-h(t))\\{}& \displaystyle\gdw \frac{220}{1+be^{-at}}be^{-at} = be^{-at}h(t) =220-h(t)\\{}&\displaystyle \gdw \left(be^{-at}+1\right)h(t) =220 \gdw h(t) = h(t).\end{array}[/mm]
Und der letzte Ausdruck ist tautologisch. Also ist es gezeigt.
Grüße
Karl
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