Zahlenfolge reeller Zahlen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:33 Fr 12.11.2010 | | Autor: | jaktens |
| Aufgabe | Es ist eine Zahlenfolge reeller Zahlen [mm] (a_{n})_{n\in\IN} [/mm] gegeben mit der folgenden Eigenschaft:
Es gibt eine Zahl [mm] a\in\IR, [/mm] so dass jede echte Teilfolge [mm] (a_{n_{k}})_{k\in\IN} [/mm] gegen a konvergiert. Zeigen Sie, dass dann gilt [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}a_{n}=a.
[/mm]
Eine Teilfolge [mm] (a_{n_{k}})_{k\in\IN} [/mm] einer Folge [mm] (a_{n})_{n\in\IN} [/mm] heißt echte Teilfolge, wenn in [mm] (a_{n_{k}})_{k\in\IN} [/mm] unendlich viele Glieder von [mm] (a_{n})_{n\in\IN} [/mm] fehlen.
Genauer: Es existiert eine streng monoton wachsende Folge [mm] (m_{l})_{l\in\IN} [/mm] natürlicher Zahlen, so dass [mm] m_{l}\not=n_{k} [/mm] für alle [mm] l,k\in \IN [/mm] |
Hallo!
Ich sitze seit drei Stunden vor dieser Aufgabe und komme keinen Schritt weiter.
Ich kann mit dem Hinweis, dass eine streng monoton wachsende Folge [mm] (m_{l})_{l\in\IN} [/mm] natürlicher Zahlen existiert, so dass [mm] m_{l}\not=n_{k} [/mm] für alle [mm] l,k\in \IN [/mm] gilt, fast nichts anfangen.
Da [mm] (a_{n}) [/mm] konvergiert, ist [mm] (a_{n}) [/mm] beschränkt. Jede beschränkte Folge enthält eine konvergente Teilfolge. Aber der Hinweis mit den natürlichen Zahlen ergibt für mich keinen Sinn.
Warum muss die Folge natürliche Zahlen enthalten??
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Hallo
Benutze, dass du alle [mm] a_n [/mm] (für große n) beliebig genau mit der teilfolge
approximieren kannst.
Gruß
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:15 Fr 12.11.2010 | | Autor: | jaktens |
Danke für die schnelle Antwort!!
Das mit den natürlichen Zahlen hatt sich mittlerweile geklärt....habs wohl konsequent überlesen!
Ich schreib mal, was ich hab:
Da [mm] (a_{n_{k}}) [/mm] konvergiert, gilt:
[mm] |(a_{n_{k}})-a|<\varepsilon
[/mm]
Wenn ich [mm] (a_{n_{k}}) [/mm] beliebig genau approximieren kann, müsste doch auch folgendes gelten:
[mm] |m_{l}-(a_{n_{k}})|<\varepsilon [/mm] (für [mm] m_{l}\not=n_{k})
[/mm]
Dann geht [mm] (m_{l}) [/mm] gegen [mm] (a_{n_{k}}).
[/mm]
Da [mm] (m_{l}) [/mm] streng monoton wachsend ist, existiert ein
[mm] a\in(a_{n}) [/mm] für das gilt: [mm] a>(m_{l1})>(m_{l2})>(m_{l3}>...).
[/mm]
Da [mm] (m_{l}) [/mm] gegen [mm] a\in\IR [/mm] konvergiert, muss auch [mm] (a_{n_{k}}) [/mm] gegen a konvergieren.
Somit gilt [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}a_{n}=a
[/mm]
Hab ich hier nen Gedankendreher drin?
Kann ich von einer streng monoton wachsenden Teilfolge auf einen Grenzwert schließen??
Die Teilfolgen 2k bzw (2k-1) von [mm] (-1)^n [/mm] für [mm] k,n\in\IN [/mm] sind konvergent, aber nicht streng monoton wachsend....
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:48 Fr 12.11.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
die [mm] m_l [/mm] sind keine Glieder der Folge es sind naturliche Zahlen , die Indices Indizes der Folge [mm] a_m_l
[/mm]
deshalb ist
$ [mm] |m_{l}-(a_{n_{k}})|<\varepsilon [/mm] $ (für $ [mm] m_{l}\not=n_{k}) [/mm] $
falsch.
Du musst ausnutzen, dass jede Teilfolge konvergiert. also nur mal ne auswahl
[mm] a_{2^n} a_{2n} a_{2n+1} a_{7^n} [/mm] also wirklich jede.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:12 Sa 13.11.2010 | | Autor: | fred97 |
Man benötigt nur 2 echte Teilfolgen !!
Es gilt nach Vor.:
$ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}a_{2n}=a =\limes_{n\rightarrow\infty}a_{2n+1}$
[/mm]
Dann folgt, dass [mm] (a_n) [/mm] gegen a konvergiert. Warum ?
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:27 Sa 13.11.2010 | | Autor: | jaktens |
Wegen dem Drei-Folgen-Satz, oder nicht?
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}a_{2n}\le\limes_{n\rightarrow\infty}a_{n}\le\limes_{n\rightarrow\infty}a_{2n+1}
[/mm]
Sei [mm] \vareepsilon>0 [/mm] beliebig, dann exisitert ein [mm] N_{a}\in\IN [/mm] mit
[mm] |a_{2n}|<\varepsilon, [/mm]
[mm] |a_{n}|<\varepsilon,
[/mm]
[mm] |a_{2n+1}|<\varepsilon.
[/mm]
Dann gilt:
[mm] a-\varepsilon
Mein Problem ist, die Folge [mm] a_{n} [/mm] einmal garantiert von oben und einmal von unten anzunähern.
Oder kann ich hier einfach definieren, dass [mm] a_{2n} [/mm] < [mm] a_{n} [/mm] < [mm] a_{2n+1} [/mm] ist. Ich kleb hier noch zu sehr an den Zahlen....
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:29 Sa 13.11.2010 | | Autor: | jaktens |
Ich glaub, ich habs!
Meine Idee mit den drei Folgen führt ins nichts.
Wenn die Teilfolge [mm] a_{2n} [/mm] gegen a konvergiert und die Teilfolge [mm] a_{2n+1} [/mm] gegen a konvergiert, dann muss auch [mm] a_{n} [/mm] gegen a konvergieren, da nun alle [mm] a_{n\in\IN} [/mm] gegen a konvergieren.
Tausend Dank für eure Hilfe!!!!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:08 So 14.11.2010 | | Autor: | fred97 |
Dass obiges Quark ist, hast Du ja schon erkannt.
Sei [mm] \varepsilon> [/mm] 0. Dann :
[mm] $|a_{2n}-a| [/mm] < [mm] \varepsilon$ [/mm] für fast alle n
und
[mm] $|a_{2n+1}-a| [/mm] < [mm] \varepsilon$ [/mm] für fast alle n
Somit:
[mm] $|a_{n}-a| [/mm] < [mm] \varepsilon$ [/mm] für fast alle n
FRED
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