Zahl ganz über Z < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:28 Fr 24.06.2011 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Ich muss herausfinden, ob [mm] a=\frac{1+\wurzel[3]{5}}{3} [/mm] ganz über [mm] \IZ [/mm] ist. Ich glaube, dass die Zahl das nicht ist, aber ich weiß nicht, wie ich das zeigen kann. Ich muss ja zeigen, dass es kein normiertes, irreduzibles Polynom [mm] f\in\IZ[x] [/mm] gibt, sodass f(a)=0 gilt.
Kann mir jemand eine allgemeine Herangehensweise dafür sagen?
Also bis jetzt konnte ich nur etwas rumprobieren, weil ich sonst nichts über das Problem weiß. Wenn es solch ein Polynom gäbe, so muss es wenigstens Grad 4 haben, weil man direkt sieht, dass es mit Grad 1 und 2 nicht klappt und 3 konnte ich per direktes Nachrechnen ausschließen.
Danke!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:14 Sa 25.06.2011 | | Autor: | Lippel |
> Hi!
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> Ich muss herausfinden, ob [mm]a=\frac{1+\wurzel[3]{5}}{3}[/mm] ganz
> über [mm]\IZ[/mm] ist. Ich glaube, dass die Zahl das nicht ist,
> aber ich weiß nicht, wie ich das zeigen kann. Ich muss ja
> zeigen, dass es kein normiertes, irreduzibles Polynom
> [mm]f\in\IZ[x][/mm] gibt, sodass f(a)=0 gilt.
>
> Kann mir jemand eine allgemeine Herangehensweise dafür
> sagen?
Du kannst das normierte Minimalpolynom von $a$ über [mm] $\IQ$ [/mm] bestimmen. Liegen dessen Koeffizienten in [mm] $\IZ$, [/mm] so ist a ganz über [mm] $\IZ$. [/mm] Liegen die Koeffizienten nicht in [mm] $\IZ$, [/mm] so ist das Element nicht ganz.
Das sieht man so:
Die Implikation: Das normierte Minimalpolynom liegt in [mm] $\IZ[X] \Rightarrow [/mm] a$ ganz über [mm] $\IZ$ [/mm] ist ja klar.
Interessanter ist, dass a nicht ganz über [mm] $\IZ$ [/mm] ist, wenn das normierte Minimalpolynom über [mm] $\IQ$ [/mm] nicht in [mm] $\IZ[X]$ [/mm] liegt.
[mm] $\IZ$ [/mm] ist ganz abgelschlossen in [mm] $\IQ [/mm] = [mm] Quot(\IZ)$, [/mm] da [mm] $\IZ$ [/mm] faktoriell ist. Angenommen $a$ ganz über [mm] $\IZ$, [/mm] es gibt also $g [mm] \in \IZ[X]$ [/mm] normiert, sodass $g(a)=0$
$f [mm] \in \IQ[X]$ [/mm] sei das Minimalpolynom von $a$ über [mm] $\IQ \Rightarrow f\;|\;g$. [/mm] D.h alle Nullstellen [mm] $a_i \in \IC$ [/mm] von f sind auch Nullstellen von g und somit ganz über [mm] $\IZ$. [/mm] Die Koeffizienten von f sind Ausdrücke in den [mm] $a_i$ [/mm] wie man durch ausmultiplizieren von $f = [mm] \produkt_i (X-a_i)$ [/mm] (f ist ja normiert) sieht. Sie sind also ganz über [mm] $\IZ$. [/mm] Außerdem liegen sie in [mm] $\IQ$, [/mm] da $f [mm] \in \IQ[X]$. [/mm] Da aber [mm] $\IZ$ [/mm] ganz abgeschlossen in [mm] $\IQ$ [/mm] ist, müssen die Koeffizienten also schon in [mm] $\IZ$ [/mm] liegen. Damit ist das normierte Minimalpolynom in [mm] $\IZ[X]$.
[/mm]
Ist dies nicht der Fall, so kann a also nicht ganz über [mm] $\IZ$ [/mm] sein.
LG Lippel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:57 Sa 25.06.2011 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Danke erst einmal.
> Du kannst das normierte Minimalpolynom von [mm]a[/mm] über [mm]\IQ[/mm]
> bestimmen.
Ok, das hab ich intuitiv auch zuerst versucht. [mm] f(x)=\frac{1}{27}((3x-1)^3-5)
[/mm]
> Liegen dessen Koeffizienten in [mm]\IZ[/mm], so ist a
> ganz über [mm]\IZ[/mm]. Liegen die Koeffizienten nicht in [mm]\IZ[/mm], so
> ist das Element nicht ganz.
Daher ist a also nicht ganz über [mm] \IZ.
[/mm]
>
> Das sieht man so:
> Die Implikation: Das normierte Minimalpolynom liegt in
> [mm]\IZ[X] \Rightarrow a[/mm] ganz über [mm]\IZ[/mm] ist ja klar.
Ok.
> Interessanter ist, dass a nicht ganz über [mm]\IZ[/mm] ist, wenn
> das normierte Minimalpolynom über [mm]\IQ[/mm] nicht in [mm]\IZ[X][/mm]
> liegt.
> [mm]\IZ[/mm] ist ganz abgelschlossen in [mm]\IQ = Quot(\IZ)[/mm], da [mm]\IZ[/mm]
> faktoriell ist.
Das sagt mir jetzt leider nicht so viel. Was ist denn [mm] Quot(\IZ)? [/mm] Dass etwas "ganz abgeschlossen" ist, kenne ich leider auch nicht.
> Angenommen [mm]a[/mm] ganz über [mm]\IZ[/mm], es gibt also [mm]g \in \IZ[X][/mm]
> normiert, sodass [mm]g(a)=0[/mm]
> [mm]f \in \IQ[X][/mm] sei das Minimalpolynom von [mm]a[/mm] über [mm] \IQ
[/mm]
Ok.
> [mm] \Rightarrow f\;|\;g. [/mm]
Wieso teilt denn f g? Also eine Nullstelle stimmt natürlich überein, [mm] x_0=a [/mm] und der Grad von f ist natürlich auch kleiner als der von g. Kann es aber nicht vorkommen, dass f noch andere Nullstellen als g hat und daher g nicht teilen kann?
> D.h alle Nullstellen [mm]a_i \in \IC[/mm] von f sind auch
> Nullstellen von g und somit ganz über [mm]\IZ[/mm]. Die
> Koeffizienten von f sind Ausdrücke in den [mm]a_i[/mm] wie man
> durch ausmultiplizieren von [mm]f = \produkt_i (X-a_i)[/mm] (f ist
> ja normiert) sieht.
Ok.
> Sie sind also ganz über [mm]\IZ[/mm].
Ok, das liegt daran, dass der algebraische Abschluss von [mm] \IZ [/mm] ein Ring bildet und daher abgeschlossen ist unter + und *, oder?
> Außerdem
> liegen sie in [mm]\IQ[/mm], da [mm]f \in \IQ[X][/mm]. Da aber [mm]\IZ[/mm] ganz
> abgeschlossen in [mm]\IQ[/mm] ist, müssen die Koeffizienten also
> schon in [mm]\IZ[/mm] liegen.
Ok.
> Damit ist das normierte Minimalpolynom
> in [mm]\IZ[X][/mm].
> Ist dies nicht der Fall, so kann a also nicht ganz über
> [mm]\IZ[/mm] sein.
>
> LG Lippel
>
Ok, ich glaub es ist relativ klar geworden, bis auf die Sache mit f|g. Aber vielen Dank für die Erklärung ansonsten!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 02:12 Sa 25.06.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Danke erst einmal.
>
> > Du kannst das normierte Minimalpolynom von [mm]a[/mm] über [mm]\IQ[/mm]
> > bestimmen.
> Ok, das hab ich intuitiv auch zuerst versucht.
> [mm]f(x)=\frac{1}{27}((3x-1)^3-5)[/mm]
> > Liegen dessen Koeffizienten in [mm]\IZ[/mm], so ist a
> > ganz über [mm]\IZ[/mm]. Liegen die Koeffizienten nicht in [mm]\IZ[/mm], so
> > ist das Element nicht ganz.
>
> Daher ist a also nicht ganz über [mm]\IZ.[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> > Das sieht man so:
> > Die Implikation: Das normierte Minimalpolynom liegt in
> > [mm]\IZ[X] \Rightarrow a[/mm] ganz über [mm]\IZ[/mm] ist ja klar.
>
> Ok.
>
> > Interessanter ist, dass a nicht ganz über [mm]\IZ[/mm] ist, wenn
> > das normierte Minimalpolynom über [mm]\IQ[/mm] nicht in [mm]\IZ[X][/mm]
> > liegt.
> > [mm]\IZ[/mm] ist ganz abgelschlossen in [mm]\IQ = Quot(\IZ)[/mm], da [mm]\IZ[/mm]
> > faktoriell ist.
>
> Das sagt mir jetzt leider nicht so viel. Was ist denn
> [mm]Quot(\IZ)?[/mm]
Das ist der Quotientenkoerper von [mm] $\IZ$.
[/mm]
> Dass etwas "ganz abgeschlossen" ist, kenne ich
> leider auch nicht.
Ein Ring ist in seinem Quotientenkoerper ganzabgeschlossen, falls jedes Element aus dem Quotientenkoerper, welches ganz ueber dem Ring ist, bereits im Ring liegt. [Wenn ein Integritaetsring in seinem Quotientenkoerper ganzabgeschlossen ist, nennt man den Ring auch normal.]
Fuer [mm] $\IZ$ [/mm] folgt das aus der Aussage: ist $f [mm] \in \IZ[X]$ [/mm] ein normiertes Polynom und [mm] $\alpha \in \IQ$ [/mm] eine Nullstelle von $f$, so gilt [mm] $\alpha \in \IZ$ [/mm] (und [mm] $\alpha$ [/mm] ist ein Teiler des konstanten Terms von $f$). Das zeigt man mit Hilfe der Primfaktorzerlegung von [mm] $\alpha$.
[/mm]
(Und allgemein folgt daraus: faktorielle Ringe sind normal.)
> > Angenommen [mm]a[/mm] ganz über [mm]\IZ[/mm], es gibt also [mm]g \in \IZ[X][/mm]
> > normiert, sodass [mm]g(a)=0[/mm]
> > [mm]f \in \IQ[X][/mm] sei das Minimalpolynom von [mm]a[/mm] über [mm]\IQ[/mm]
>
> Ok.
>
> > [mm]\Rightarrow f\;|\;g.[/mm]
>
> Wieso teilt denn f g? Also eine Nullstelle stimmt
> natürlich überein, [mm]x_0=a[/mm] und der Grad von f ist
> natürlich auch kleiner als der von g. Kann es aber nicht
> vorkommen, dass f noch andere Nullstellen als g hat und
> daher g nicht teilen kann?
Na, $f$ ist das Minimalpolynom von $a$ ueber [mm] $\IQ$. [/mm] Und $g$ ist irgendein Polynom in [mm] $\IQ[X]$, [/mm] welches $a$ als Nullstelle hat. Dann gilt doch immer $f [mm] \mid [/mm] g$.
[Das sieht man so: schreibe $g = q f + r$ mit $q, r [mm] \in \IQ[X]$ [/mm] und [mm] $\deg [/mm] r < [mm] \deg [/mm] f$. Aus $g(a) = 0 = f(a)$ folgt $r(a) = 0$; da aber $f$ minimalen Grad hat, folgt $r = 0$, also $g = q f$.]
> > D.h alle Nullstellen [mm]a_i \in \IC[/mm] von f sind auch
> > Nullstellen von g und somit ganz über [mm]\IZ[/mm]. Die
> > Koeffizienten von f sind Ausdrücke in den [mm]a_i[/mm] wie man
> > durch ausmultiplizieren von [mm]f = \produkt_i (X-a_i)[/mm] (f ist
> > ja normiert) sieht.
>
> Ok.
>
> > Sie sind also ganz über [mm]\IZ[/mm].
>
> Ok, das liegt daran, dass der algebraische Abschluss von
> [mm]\IZ[/mm] ein Ring bildet und daher abgeschlossen ist unter + und
> *, oder?
Nicht der alg. Abschluss, sondern der ganze Abschluss von [mm] $\IZ$ [/mm] im Zerfaellungskoerper von $f$, bzw. einfach in [mm] $\IC$. [/mm] Also die Menge aller Elemente im Zerfaellungskoerper bzw. in [mm] $\IC$, [/mm] die ganz ueber [mm] $\IZ$ [/mm] sind.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:16 Sa 25.06.2011 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Ok, jetzt ist alles klar, vielen Dank! Das mit dem Polynom ist natürlich etwas peinlich, ich schiebe es mal auf die Uhrzeit. ;)
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