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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:30 Sa 02.09.2017 | | Autor: | knowhow |
| Aufgabe | sei [mm] \mu:=\summe_{n\in\IN}\epsilon_n [/mm] das Zählmaß auf [mm] \IN:=\{1,2,...\} [/mm] und [mm] A_n:=\{n, n+1,...\} [/mm] für [mm] n\in \IN.
[/mm]
Bestimmen Sie [mm] \mu(\bigcap_{n\in\IN} A_n) [/mm] sowie [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\mu(A_n). [/mm] Ist [mm] \mu [/mm] stetig n ach oben? |
Hallo zusammen,
erstmal zu [mm] \mu(\bigcap_{n\in\IN} A_n):
[/mm]
[mm] \mu(\bigcap_{n\in\IN} A_n)=\summe_{n\in\IN}\epsilon_n(\bigcap_{k\in\IN} A_k)=\summe_{n\in\IN}\epsilon_n\summe_{k\in\IN}A_k=\summe_{k\in\IN}\summe_{n\in\IN}\epsilon_n(A_k)=\summe_{k\in\IN}\mu(A_k)
[/mm]
Da [mm] A_1:=\{1,2,3,4,....\}
[/mm]
[mm] A_2:=\{2,3,4,5,...\}
[/mm]
[mm] A_3:=\{3,4,5,....\}
[/mm]
[mm] \vdots
[/mm]
ist [mm] A_1 \supset A_2 \supset A_3\supset....
[/mm]
damit folgt dann [mm] \mu(\bigcap_{n\in\IN}A_n)=\limes_{n\rightarrow\infty} \mu(A_n). [/mm] Aus obiger Rechnung wissen wir, dass
[mm] \mu(\bigcap_{n\in\IN} A_n)=\summe_{n\in\IN}\mu(A_n). [/mm] Somit ist
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \mu(A_n)=\summe_{n\in\IN}\mu(A_n)
[/mm]
[mm] \Rightarrow \mu [/mm] stetig von oben
Ist das richtig?
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Hiho,
> [mm]\mu(\bigcap_{n\in\IN} A_n)=\summe_{n\in\IN}\epsilon_n(\bigcap_{k\in\IN} A_k)=\summe_{n\in\IN}\epsilon_n\summe_{k\in\IN}A_k=\summe_{k\in\IN}\summe_{n\in\IN}\epsilon_n(A_k)=\summe_{k\in\IN}\mu(A_k)[/mm]
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Was ist [mm] $\bigcap_{n\in\IN} A_n$?
[/mm]
Das kannst du direkt angeben.
Was ist das Maß dieser Menge?
Gruß,
Gono
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:54 So 03.09.2017 | | Autor: | knowhow |
da [mm] \bigcap_{n\in\IN}A_n=\emptyset [/mm] folgt dann [mm] \mu(\bigcap_{n\in\IN}A_n)=\mu(\emptyset)=0, [/mm] oder?
kann ich dann auch sagen [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\mu(A_n)=0?
[/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:58 So 03.09.2017 | | Autor: | fred97 |
> da [mm]\bigcap_{n\in\IN}A_n=\emptyset[/mm] folgt dann
> [mm]\mu(\bigcap_{n\in\IN}A_n)=\mu(\emptyset)=0,[/mm] oder?
ja
>
> kann ich dann auch sagen
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\mu(A_n)=0?[/mm]
was ist denn [mm] \mu(A_n), [/mm] wenn [mm] \mu [/mm] das Zählmass ist ?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:58 Mo 04.09.2017 | | Autor: | knowhow |
das heißt dann dass
[mm] \mu(A_n)=\infty [/mm] also ist [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\mu(A_n)=\infty.
[/mm]
Da [mm] \mu(\bigcap_{n\in\IN}A_n) \not=\limes_{n\rightarrow\infty}\mu(A_n) [/mm] ist somit [mm] \mu [/mm] nicht stetig.
Stimmt das?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:14 Mo 04.09.2017 | | Autor: | fred97 |
> das heißt dann dass
>
> [mm]\mu(A_n)=\infty[/mm] also ist
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\mu(A_n)=\infty.[/mm]
>
> Da [mm]\mu(\bigcap_{n\in\IN}A_n) \not=\limes_{n\rightarrow\infty}\mu(A_n)[/mm]
> ist somit [mm]\mu[/mm] nicht stetig.
>
> Stimmt das?
Ja
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Hallo fred,
Stetigkeit von oben benötige [mm] $\mu(A_n) [/mm] < [mm] \infty$, [/mm] insofern ist das Beispiel kein geeignetes Gegenbeispiel.
Demzufolge ist der Schluß nicht korrekt.
Gruß,
Gono
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Hiho,
> Da [mm]\mu(\bigcap_{n\in\IN}A_n) \not=\limes_{n\rightarrow\infty}\mu(A_n)[/mm]
> ist somit [mm]\mu[/mm] nicht stetig.
>
> Stimmt das?
nein das stimmt nicht.
Stetigkeit von oben hat eine weitere Voraussetzung, nämlich [mm] $\mu(A_n) [/mm] < [mm] \infty$, [/mm] was hier nicht der Fall ist.
Du kannst also mit diesem Beispiel keine Aussage treffen.
Gruß,
Gono
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:22 Di 05.09.2017 | | Autor: | fred97 |
> Hiho,
>
> > Da [mm]\mu(\bigcap_{n\in\IN}A_n) \not=\limes_{n\rightarrow\infty}\mu(A_n)[/mm]
> > ist somit [mm]\mu[/mm] nicht stetig.
> >
> > Stimmt das?
>
> nein das stimmt nicht.
> Stetigkeit von oben hat eine weitere Voraussetzung,
> nämlich [mm]\mu(A_n) < \infty[/mm], was hier nicht der Fall ist.
>
> Du kannst also mit diesem Beispiel keine Aussage treffen.
Die Vor. [mm]\mu(A_n) < \infty[/mm] hatte ich in der Tat vergessen.
>
> Gruß,
> Gono
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