Zähler Ergänzen um zu Kürzen < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Man berechne [mm] \integral_{3}^{5}{\bruch{x-1}{2+4x}dx}
[/mm]
LÖSUNG: Wir ergänzen den Zähler, sodass Kürzen möglich ist:
[mm] \bruch{x-1}{2+4x}=\bruch{1}{2}\bruch{x+\bruch{1}{2}-\bruch{2}{3}}{1+2x}=\bruch{1}{2}\bruch{\bruch{1}{2}(1+2x)-\bruch{3}{2}}{1+2x}=\bruch{1}{2}[\bruch{1}{2}-\bruch{3}{2}\bruch{1}{1+2x}]=\bruch{1}{4}-\bruch{3}{4}\bruch{1}{1+2x}
[/mm]
Die nachfolgenden Schritte dieser Beispielaufgabe habe ich nicht weiter aufgehführt: Dort wurde lediglich das Integral berechnet, die Lösung lautet 0.3305 |
Hallo Mathe freunde,
ich komme mit einer Beispielaufgabe aus meinem Lehrbuch nicht klar.
Anscheinend wurde hier so umgeformt, sodass für den weiteren Verlauf die Lineare Kettenregel angewandt werden kann.
Ich verstehe diese Umformung nicht.
Wäre jemand in der lage, mir zu erklären, was A) der Sinn dieser Umformung ist, (d.h. was bedeutet das Ziel "Sodass kürzen möglich ist") und B) wie dazu Schritt für Schritt vorgegangen wurde. Anhand der Vorrechnung bin ich dazu selber nicht in der Lage.
Das fängt schon an bei: Warum wurde in der 2. Zeile mit [mm] \bruch{1}{2} [/mm] multipliziert und weshalb sieht der Zähler des Bruchs daneben nun ganz anders aus, oder hängt beides miteinander zusammen? Wurde hier oder dort mal ein Grundrechengesetz angewandt, wenn ja welches?
Mir würde es sehr weiterhelfen, wenn man mir mitteilt, welche Umformungsregeln angewandt wurden, sodass ich mir selbständig diese Grundlagenregeln aneignen kann um meine lückenhaften Umformungskenntnisse zu füllen.
Ich weiss überhaupt nicht, was ich bei einem Bruch alles Umformen darf, bzw was nicht..
Mein Ziel ist, in nächster Zeit beim Nachvollziehen von Umformungen keine Probleme mehr zu bekommen. Lerntipps dafür sind jederzeit willkomen
Ich bitte um Nachsicht für meine mangelhaften Mathekenntnisse, ich versuche aber, an mir zu Arbeiten ;)
Vielen Dank für eure Mühe!
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Hallo scherz123,
falls das so in Deiner Musterlösung steht, ist einfach ein Fehler drin. Du schreibst
[mm] \bruch{x-1}{2+4x}=\bruch{1}{2}\bruch{x+\bruch{1}{2}-\red{\bruch{2}{3}}}{1+2x}=\bruch{1}{2}\bruch{\bruch{1}{2}(1+2x)-\bruch{3}{2}}{1+2x}=\bruch{1}{2}[\bruch{1}{2}-\bruch{3}{2}\bruch{1}{1+2x}]=\bruch{1}{4}-\bruch{3}{4}\bruch{1}{1+2x}
[/mm]
Richtig wäre dies (für die Lesbarkeit mit ein paar zusätzlichen Klammern und "Mal"zeichen  ):
[mm] \bruch{x-1}{2+4x}=\bruch{1}{2}*\bruch{x+\bruch{1}{2}-\blue{\bruch{3}{2}}}{1+2x}=\bruch{1}{2}*\bruch{\bruch{1}{2}(1+2x)-\bruch{3}{2}}{(1+2x)}=\bruch{1}{2}\left(\bruch{1}{2}-\bruch{3}{2}*\bruch{1}{(1+2x)}\right)=\bruch{1}{4}-\bruch{3}{4}*\bruch{1}{(1+2x)}
[/mm]
Ab hier fällt die Integration ziemlich leicht. Und das ist auch der ganze Sinn der Umformung.
Grüße
reverend
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Sie haben vollkommen recht, ich habe einen Tippfehler gemacht.
Vielen Dank für ihre schnelle Antwort
Trozdem noch eine Frage
wie kommt man von [mm] \bruch{1}{2} \bruch {\bruch{1}{2}(1+2x)-\bruch{3}{2}}{1+2x} [/mm] auf [mm] \bruch{1}{2}[\bruch{1}{2}-\bruch{3}{2}\bruch{1}{1+2x}
[/mm]
Wo ist denn bitte jetzt das x aus dem Zähler hin :(
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Hallo scherz123,
> Sie haben vollkommen recht, ich habe einen Tippfehler
> gemacht.
Na, wir duzen uns hier alle
> Vielen Dank für ihre schnelle Antwort
>
> Trozdem noch eine Frage
>
> wie kommt man von [mm]\bruch{1}{2} \bruch {\bruch{1}{2}(1+2x)-\bruch{3}{2}}{1+2x}[/mm]
> auf [mm]\bruch{1}{2}[\bruch{1}{2}-\bruch{3}{2}\bruch{1}{1+2x}[/mm]
> Wo ist denn bitte jetzt das x aus dem Zähler hin :(
Gekürzt!
Einfache Bruchrechnung: es ist [mm]\frac{a-b}{c}=\frac{a}{c}-\frac{b}{c}[/mm]
Hier also [mm]\frac{1}{2}\cdot{}\frac{\frac{1}{2}\cdot{}(1+2x)-\frac{3}{2}}{1+2x}=\frac{1}{2}\cdot{}\left[\frac{\frac{1}{2}\cdot{}\blue{(1+2x)}}{\blue{1+2x}}-\frac{\frac{3}{2}}{1+2x}\right]=\frac{1}{2}\cdot{}\left[\frac{1}{2}-\frac{3}{2}\cdot{}\frac{1}{1+2x}\right][/mm]
Gruß
schachuzipus
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Danke dir für deine Antwort.
Beim bei den weiteren Aufgaben bin ich nun auf wieder ein Problem gestossen! Wie vereinfache ich [mm] \bruch{1x-9}{3x+8} [/mm] um möglichst annähernd eine Struktur wie diese [mm] \bruch{1}{x} [/mm] zu erhalten? Ich komm einfach nicht hinter die Mechanik! Wie forme ich das am besten um?
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> Danke dir für deine Antwort.
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> Beim bei den weiteren Aufgaben bin ich nun auf wieder ein
> Problem gestossen! Wie vereinfache ich [mm]\bruch{1x-9}{3x+8}[/mm]
> um möglichst annähernd eine Struktur wie diese
> [mm]\bruch{1}{x}[/mm] zu erhalten? Ich komm einfach nicht hinter die
> Mechanik! Wie forme ich das am besten um?
Hallo scherz123,
ich möchte dir zwei etwas andere Methoden nahelegen, die
dasselbe leisten. Im Prinzip geht es doch hier darum, einen
Term wie zum Beispiel eben [mm]\bruch{1x-9}{3x+8}[/mm] auf die für die Inte-
gration angenehmere Form
$\ A\ +\ [mm] \bruch{B}{3x+8}$ [/mm]
mit zwei noch zu bestimmenden Zahlen A und B zu bringen.
Setze also einfach an:
$\ A\ +\ [mm] \bruch{B}{3x+8}\ [/mm] =\ [mm] \bruch{1x-9}{3x+8}$
[/mm]
Multipliziere diese ganze Gleichung mit dem Nenner [mm] (3\,x\,+\,8)
[/mm]
und bestimme dann die Werte von A und B durch Koeffi-
zientenvergleich.
Der andere Weg wäre, die lineare Substitution z=3x+8 ,
welche für die anschließende Integration ohnehin nötig
ist, schon hier durchzuführen.
LG Al-Chwarizmi
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