Z[x]/(polynomial relations) < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:29 So 25.04.2010 | | Autor: | Arcesius |
| Aufgabe | Let m [mm] \in \IZ [/mm] be a squarefree integer different from 1 and K = [mm] \IQ(\sqrt{m}). [/mm] Give, for the ring of integers [mm] \mathcal{O}_{K} [/mm] , a ring presentation of the form [mm] \IZ\left[x\right]/(polynomial [/mm] relation(s)).
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Hallo zusammen
Ich möchte mich an diese Aufgabe machen, wofür ich (leider) wieder Hilfe brauche.
Zunächst einmal habe ich die "integral closure" von K als [mm] \overline{R} [/mm] := [mm] \{\alpha \in K | \exists f \in \IZ\left[x\right] \text{s.t. f is monic and} f(\alpha) = 0\}
[/mm]
Das einzige, was mir bisher eingefallen ist (über Polynome in diesem Zusammenhang), ist, falls ich die Fälle
m [mm] \equiv [/mm] 1 (mod 4)
m [mm] \not\equiv [/mm] 1 (mod 4)
separat betrachte, erhalte ich verschiedene Bedingungen an die Minimalpolynome von [mm] \alpha \in [/mm] K = [mm] \IQ(\sqrt{m}), [/mm] damit es überhaupt in [mm] \mathcal{O}_{K} [/mm] liegt.
Dann habe ich noch ein Lemma:
Let g [mm] \in \IQ\left[x\right] [/mm] be monic, such that (g) contains a monic polynomial with integer coefficients. Then g [mm] \in \IZ\left[x\right].
[/mm]
Aus dem Lemma: [mm] \alpha [/mm] is integral [mm] \Leftrightarrow [/mm] g [mm] \in \IZ\left[x\right]
[/mm]
Dann habe ich natürlich noch die Form der minimalpolynome:
[mm] \alpha \in \IQ \Rightarrow [/mm] g = [mm] x-\alpha
[/mm]
[mm] \alpha \notin \IQ \Rightarrow [/mm] g = [mm] x^{2}-2ax+(a^{2}-mb^{2})
[/mm]
Bringt mich das hier weiter?
Grüsse, Amaro
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 03:56 Mo 26.04.2010 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Let m [mm]\in \IZ[/mm] be a squarefree integer different from 1 and
> K = [mm]\IQ(\sqrt{m}).[/mm] Give, for the ring of integers
> [mm]\mathcal{O}_{K}[/mm] , a ring presentation of the form
> [mm]\IZ\left[x\right]/(polynomial[/mm] relation(s)).
>
> Hallo zusammen
>
> Ich möchte mich an diese Aufgabe machen, wofür ich
> (leider) wieder Hilfe brauche.
>
> Zunächst einmal habe ich die "integral closure" von K als
> [mm]\overline{R}[/mm] := [mm]\{\alpha \in K | \exists f \in \IZ\left[x\right] \text{s.t. f is monic and} f(\alpha) = 0\}[/mm]
>
> Das einzige, was mir bisher eingefallen ist (über Polynome
> in diesem Zusammenhang), ist, falls ich die Fälle
>
> m [mm]\equiv[/mm] 1 (mod 4)
> m [mm]\not\equiv[/mm] 1 (mod 4)
>
> separat betrachte, erhalte ich verschiedene Bedingungen an
> die Minimalpolynome von [mm]\alpha \in[/mm] K = [mm]\IQ(\sqrt{m}),[/mm] damit
> es überhaupt in [mm]\mathcal{O}_{K}[/mm] liegt.
Finde jeweils ein Element [mm] $\alpha$ [/mm] mit [mm] $\mathcal{O}_K [/mm] = [mm] \IZ[\alpha]$. [/mm] Dann ist das Minimalpolynom von [mm] $\alpha$ [/mm] ueber [mm] $\IQ$ [/mm] das gesuchte Polynom. (Ueberleg dir mal warum!)
Falls du [mm] $\mathcal{O}_K [/mm] = [mm] \IZ [/mm] + [mm] \alpha \IZ$ [/mm] schreiben kannst, ist dieses [mm] $\alpha$ [/mm] das, was du brauchst.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:20 Mo 26.04.2010 | | Autor: | Arcesius |
Hallo
Ich habe jetzt etwas versucht (Fall: m [mm] \equiv [/mm] 1 (mod 4))
[mm] \mathcal{O}_{K} [/mm] = [mm] \{a + b\left(\frac{1+\sqrt{m}}{2}\right) | a,b \in \mathbb{Z}\}
[/mm]
Ich definiere jetzt x := [mm] \frac{1+\sqrt{m}}{2} [/mm] und erhalte [mm] x^{2} [/mm] = x + [mm] \frac{m-1}{4}
[/mm]
Somit gilt [mm] 4x^{2} [/mm] = 4x + m - 1
Kann ich jetzt schreiben [mm] \mathcal{O}_{K} [/mm] = [mm] \mathbb{Z}\left[x\right]/(4x^{2}-4x-m+1) [/mm] ??
Ich werde es nacher mit deinem Tipp, Felix, versuchen.. Das war mal vorweg um eine Rückmeldung zu kriegen, ob dies so gehen könnte :)
Grüsse, Amaro
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:48 Mo 26.04.2010 | | Autor: | felixf |
Hallo Amaro!
> Ich habe jetzt etwas versucht (Fall: m [mm]\equiv[/mm] 1 (mod 4))
>
> [mm]\mathcal{O}_{K}[/mm] = [mm]\{a + b\left(\frac{1+\sqrt{m}}{2}\right) | a,b \in \mathbb{Z}\}[/mm]
>
> Ich definiere jetzt x := [mm]\frac{1+\sqrt{m}}{2}[/mm] und erhalte
> [mm]x^{2}[/mm] = x + [mm]\frac{m-1}{4}[/mm]
Genau. Also ist das Minimalpolynom von [mm] $\frac{1 + \sqrt{m}}{2}$ [/mm] durch [mm] $x^2 [/mm] - x - [mm] \frac{m - 1}{4} \in \IZ[x]$ [/mm] gegeben.
> Somit gilt [mm]4x^{2}[/mm] = 4x + m - 1
Warum tust du das?
> Kann ich jetzt schreiben [mm]\mathcal{O}_{K}[/mm] =
> [mm]\mathbb{Z}\left[x\right]/(4x^{2}-4x-m+1)[/mm] ??
Erstens: Gleichheit sit das ganz sicher nicht. Wenn schon sind die Teile isomorph.
Zweitens: Da du das Polyom mit 4 multipliziert hast, ist das ganze eben nicht mehr isomorph.
Es ist [mm] $\mathcal{O}_L [/mm] = [mm] \IZ[\frac{1 + \sqrt{m}}{2}] \cong \IZ[x] [/mm] / [mm] (x^2 [/mm] - x - [mm] \frac{m - 1}{4})$.
[/mm]
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:50 Mo 26.04.2010 | | Autor: | Arcesius |
Hallo
>
> Finde jeweils ein Element [mm]\alpha[/mm] mit [mm]\mathcal{O}_K = \IZ[\alpha][/mm].
> Dann ist das Minimalpolynom von [mm]\alpha[/mm] ueber [mm]\IQ[/mm] das
> gesuchte Polynom. (Ueberleg dir mal warum!)
>
> Falls du [mm]\mathcal{O}_K = \IZ + \alpha \IZ[/mm] schreiben kannst,
> ist dieses [mm]\alpha[/mm] das, was du brauchst.
>
Nun, ich mache hierzu eine Fallunterscheidung:
m [mm] \not\equiv [/mm] 1 (mod 4): [mm] \mathcal{O}_{K} [/mm] = [mm] \mathbb{Z}\left[\sqrt{m}\right] [/mm] = [mm] \mathbb{Z}\oplus\mathbb{Z}\sqrt{m} \Rightarrow \alpha_{1} [/mm] = [mm] \sqrt{m}
[/mm]
m [mm] \equiv [/mm] 1 (mod 4): [mm] \mathcal{O}_{K} [/mm] = [mm] \mathbb{Z}\left[\frac{1+\sqrt{m}}{2}\right] [/mm] = [mm] \mathbb{Z}\oplus\mathbb{Z}\frac{1+\sqrt{m}}{2} \Rightarrow \alpha_{2} [/mm] = [mm] \frac{1+\sqrt{m}}{2}
[/mm]
Haste das so gemeint?
> LG Felix
>
Grüsse, Amaro
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:49 Mo 26.04.2010 | | Autor: | felixf |
Hallo Amaro!
> > Finde jeweils ein Element [mm]\alpha[/mm] mit [mm]\mathcal{O}_K = \IZ[\alpha][/mm].
> > Dann ist das Minimalpolynom von [mm]\alpha[/mm] ueber [mm]\IQ[/mm] das
> > gesuchte Polynom. (Ueberleg dir mal warum!)
> >
> > Falls du [mm]\mathcal{O}_K = \IZ + \alpha \IZ[/mm] schreiben kannst,
> > ist dieses [mm]\alpha[/mm] das, was du brauchst.
>
> Nun, ich mache hierzu eine Fallunterscheidung:
>
> m [mm]\not\equiv[/mm] 1 (mod 4): [mm]\mathcal{O}_{K}[/mm] =
> [mm]\mathbb{Z}\left[\sqrt{m}\right][/mm] =
> [mm]\mathbb{Z}\oplus\mathbb{Z}\sqrt{m} \Rightarrow \alpha_{1}[/mm] =
> [mm]\sqrt{m}[/mm]
>
> m [mm]\equiv[/mm] 1 (mod 4): [mm]\mathcal{O}_{K}[/mm] =
> [mm]\mathbb{Z}\left[\frac{1+\sqrt{m}}{2}\right][/mm] =
> [mm]\mathbb{Z}\oplus\mathbb{Z}\frac{1+\sqrt{m}}{2} \Rightarrow \alpha_{2}[/mm]
> = [mm]\frac{1+\sqrt{m}}{2}[/mm]
>
> Haste das so gemeint?
Ja. Jetzt brauchst du nur noch die Minimalpolynome.
LG Felix
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