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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:43 Di 29.08.2006 | | Autor: | nebulo |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich habe eine Frage wie man möglichst einfach alle Gruppenhomomorphismen zwischen Restklassen findet:
z.B. von Z/4Z nach Z/6Z
Ist es korrekt, dass ich erstmal alle Untergruppen also hier {0}, {0,2} ,{0,1,2,3} finden muss?
Sehe ich dass jetzt richtig, dass ich nun auch 3 Gruppenhomomorphismen habe?
[0] -> [0]
[0],[2] -> [0]
Wie sieht der 3. aus?
Gruß nebulo
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:50 Di 29.08.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Ich habe eine Frage wie man möglichst einfach alle
> Gruppenhomomorphismen zwischen Restklassen findet:
>
> z.B. von Z/4Z nach Z/6Z
Indem du den Chinesischen Restsatz anwendest und die Gruppen in Produkte von Primzahlpotenz-Ordnungen zerlegst: Es ist [mm] $\IZ/4\IZ [/mm] = [mm] \IZ/(2^2)\IZ$ [/mm] und [mm] $\IZ/6\IZ \cong \IZ/2\IZ \times \IZ/3\IZ$.
[/mm]
Fuer jeden Faktor in der linken Seite (hier gibts nur einen, und zwar [mm] $\IZ/(2^2)\IZ$) [/mm] schaust du jetzt, auf welche Elemente der rechten Seite dieser abgebildet werden kann: Du kannst ihn auf jedes Element abbilden, dessen Ordnung ein Teiler von der Ordnung des Faktors auf der linken Seite ist. Also auf jedes Element, dessen Ordnung entweder 1, 2 oder 4 ist.
In [mm] $\IZ/2\IZ \times \IZ/3\IZ$ [/mm] haben nur die Elemente der Form $(x, 0)$ mit $x [mm] \in \IZ/2\IZ$ [/mm] eine solche Ordnung, und davon gibt es genau zwei. Also gibt es genau zwei Homomorphismen [mm] $\IZ/4\IZ \to \IZ/2\IZ \times \IZ/3\IZ$, [/mm] naemlich einer, der $1$ auf $(0, 0)$ abbildet (der bildet alles auf $(0, 0)$ ab), und einen, der $1$ auf $(1, 0)$ abbildet (der nimmt das Element modulo 2 als erste Komponente, und die zweite Komponente ist 0).
> Ist es korrekt, dass ich erstmal alle Untergruppen also
> hier {0}, {0,2} ,{0,1,2,3} finden muss?
Nein, das musst du nicht.
> Sehe ich dass jetzt richtig, dass ich nun auch 3
> Gruppenhomomorphismen habe?
Nein, du hast 2.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:42 Di 29.08.2006 | | Autor: | nebulo |
Also so ganz klar ist mir das Ganze immer noch nicht.
Ist es korrekt, dass [mm] \IZ/9\IZ [/mm] folgende Zerlegung hätte [mm] \IZ/3\IZ \times \IZ/3\IZ [/mm] ?
Und [mm] \IZ/12\IZ [/mm] sähe so aus: [mm] \IZ/2^{2}\IZ \times \IZ/3\IZ [/mm] und man hätte ein Tripel ?
Was mir ansonsten vorallem unklar ist, ist folgendes:
Was meinst du mit $ 1 $ wird abgebildet auf $ (0, 0) $ oder $ 1 $ wird abgebildet auf $ (1, 0) $? Für was steht die $ 1 $ ?
Die schreibweise mit den Tupeln ist mir auch nicht ganz klar was bedeuten
(0,0)
(0,1)
(0,2)
(1,0)
(1,1)
(1,2) ? Ist es korrekt, dass dies alle Tupel von [mm] \IZ/6\IZ [/mm] sind?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:14 Di 29.08.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Also so ganz klar ist mir das Ganze immer noch nicht.
>
> Ist es korrekt, dass [mm]\IZ/9\IZ[/mm] folgende Zerlegung hätte
> [mm]\IZ/3\IZ \times \IZ/3\IZ[/mm] ?
Nein. In [mm] $\IZ/9\IZ$ [/mm] gibt es ein Element der Ordnung 9, in [mm] $\IZ/3\IZ \times \IZ/3\IZ$ [/mm] nicht (dort haben alle Elemente bis auf das Neutrale die Ordnung 3).
> Und [mm]\IZ/12\IZ[/mm] sähe so aus: [mm]\IZ/2^{2}\IZ \times \IZ/3\IZ[/mm]
Ja.
> und man hätte ein Tripel ?
Nein, ein Paar: Die erste Komponente ist [mm] $\IZ/4\IZ [/mm] = [mm] \IZ/2^2\IZ$ [/mm] und die zweite [mm] $\IZ/3\IZ$.
[/mm]
> Was mir ansonsten vorallem unklar ist, ist folgendes:
>
> Was meinst du mit [mm]1[/mm] wird abgebildet auf [mm](0, 0)[/mm] oder [mm]1[/mm] wird
1 ist ein Element aus [mm] $\IZ/4\IZ$, [/mm] und $(0, 0)$ ein Element aus [mm] $\IZ/2\IZ \times \IZ/3\IZ$. [/mm] (Eigentlich sind die Restklassen gemeint, aber anstatt [mm] $\overline{1}$ [/mm] und [mm] $\overline{0}$ [/mm] schreibe ich einfach $1$ und $0$.)
> abgebildet auf [mm](1, 0) [/mm]? Für was steht die [mm]1[/mm] ?
> Die schreibweise mit den Tupeln ist mir auch nicht ganz
> klar was bedeuten
Wenn du eine Gruppe $G$ hast, dann schreibst du die Elemente ganz normal: $g [mm] \in [/mm] G$. Wenn du das Produkt von zwei Gruppen hast, etwa $G [mm] \times [/mm] H$, dann sind die Elemente gerade $(g, h)$ mit $g [mm] \in [/mm] G$, $h [mm] \in [/mm] H$. Und genauso gehts mit Produkten mit mehr als zwei Faktoren.
> (0,0)
> (0,1)
> (0,2)
> (1,0)
> (1,1)
> (1,2) ? Ist es korrekt, dass dies alle Tupel von [mm]\IZ/6\IZ[/mm]
> sind?
Das sind alle Tupel aus [mm] $\IZ/2\IZ \times \IZ/3\IZ$. [/mm] Das ist nicht [mm] $\IZ/6\IZ$. [/mm] Die beiden sind jedoch isomorph (das besagt gerade der Chinesische Restsatz!), aber halt nicht gleich! Die Elemente aus [mm] $\IZ/6\IZ$ [/mm] sind 0, 1, 2, 3, 4 und 5.
LG Felix
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