ZVA berechnen < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:59 So 23.03.2014 | | Autor: | CaNi |
| Aufgabe | X und Y seien unabhängige, [mm] \IN_{0} [/mm] - wertige ZVA mit P [X =k] = P [Y=k] = [mm] (1-p)^k [/mm] * p , k [mm] \in \IN_{0}, [/mm] wobei p [mm] \in [/mm] (0,1)
Berechnen Sie P[X=k | X+Y = l] , k,l [mm] \in \IN_{0} [/mm] |
Ich schon wieder... Habe Klausur und rechne gerade alte Klausuren durch, deshalb so viele Fragen... :)
Sonst habe ich eigentlich immer eine Idee, hier aber überhaupt nicht.
Könnte mir vielleicht einer einen kleinen Schubs geben wie man an solche Aufgaben ran gehen muss?
|
|
| |
|
Hallo,
der Schubs heißt Unabhängigkeit. Wenn X=k, X+Y=l, wie groß ist dann Y und was darfst du mit den beiden Wahrscheinlichkeiten laut Voraussetzung tun?
Gruß, Diophant
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:20 So 23.03.2014 | | Autor: | CaNi |
Puh, ok das dachte ich mir schon irgewndwie, bin mir nur nicht sicher wie ich das auseinanderzeihen kann/darf
P[X=k | X+Y = l] = P[X=k | X=k, Y=l-k] = P [X = k | X =k] P[X=k | Y =l-k] = 1* P[X=k | Y =l-k] ?
Das sieht zwar schön aus, aber denke mal das ist komplett daneben :D und selbst hier wüsste ich nicht wie man mit P[X = k | Y =l-k] weiter machen könnte :(
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:33 So 23.03.2014 | | Autor: | hippias |
> Puh, ok das dachte ich mir schon irgewndwie, bin mir nur
> nicht sicher wie ich das auseinanderzeihen kann/darf
>
> P[X=k | X+Y = l] = P[X=k | X=k, Y=l-k] = P [X = k | X =k]
> P[X=k | Y =l-k] = 1* P[X=k | Y =l-k] ?
Achtung: Obwohl $P[X=k | X+Y = l] = P[X=k | Y =l-k]$ richtig ist, scheint mir der Schritt $P[X=k | X=k, Y=l-k] = P [X = k | X =k]P[X=k | Y =l-k]$ in deiner Argumentation nicht ueberzeugend: $P(X|Y,Z)= P(X|Y)P(X|Z)$ ist auch fuer unabhaengige ZG $Y$, $Z$ i.a. falsch.
>
> Das sieht zwar schön aus, aber denke mal das ist komplett
> daneben :D und selbst hier wüsste ich nicht wie man mit
> P[X = k | Y =l-k] weiter machen könnte :(
Wende die Voraussetzung an.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:14 So 23.03.2014 | | Autor: | CaNi |
Sorry, ich bin nun ein bisschen verwirrt. Bis hier P[X=k | X=k, Y=l-k] ist es noch richtig, danach ist es falsch? ok, müsste man dann von hier mit Bayes weitermachen?
P[A|B] = P[B|A] P [A] / P[B] ? Da hat man aber auch nicht wirklich was gewonnen. Leider stehe ich immernoch auf dem schlauch hier :(
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:13 So 23.03.2014 | | Autor: | luis52 |
Moin,
*ich* rechne so:
$P(X=k [mm] \mid [/mm] X+Y = [mm] l)=\frac{P(X=k,X+Y=l)}{P(X+Y=l)}=\frac{P(X=k,Y=l-k)}{P(X+Y=l)}=\ldots$
[/mm]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:40 So 23.03.2014 | | Autor: | CaNi |
P(X=k [mm] \mid [/mm] X+Y = [mm] l)=\frac{P(X=k,X+Y=l)}{P(X+Y=l)}=\frac{P(X=k,Y=l-k)}{P(X+Y=l)}= \frac{P(X=k) P(Y=l-k)}{P(X+Y=l)} [/mm] = [mm] \frac{((1-p)^k *p ) * ((1-p)^{l-k} * p)}{P(X+Y=l)} [/mm] = [mm] \frac{(p^2(1-p)^l)}{P(X = k,Y=l-k)} [/mm] = [mm] \frac{(p^2(1-p)^l)}{P(X = k) P(Y =l-k)} [/mm] = [mm] \frac{(p^2(1-p)^l)}{(p^2(1-p)^l)} [/mm] = 1
hmm.... Stimmt das so ? :/ eher wohl nicht :(
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:43 So 23.03.2014 | | Autor: | CaNi |
ach, nein das ist natürlich falsch sehe ich gerade selbst... Der Nenner lässt sich so wahrscheinlich nicht auflösen... Vielleicht kannst du mir nochmal helfen?
Vielen Dank für deine viele Hilfe auf jeden Fall schon mal!!!!!!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:33 So 23.03.2014 | | Autor: | luis52 |
Der Zaehler stimmt, der Nenner nicht. Was weisst du denn ueber die Verteilung von $X+Y$?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:42 So 23.03.2014 | | Autor: | CaNi |
Hm, irgendwie nichts, das ist das Problem :D
Ich weiss das beide unabhängig sind und das X+Y=l sind und 0 [mm] \le [/mm] l. Leider stehe ich echt auf dem Schlauch :/ wahrscheinlich ist es offensichtlich aber ich komme einfach nicht drauf
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:47 So 23.03.2014 | | Autor: | luis52 |
> Hm, irgendwie nichts, das ist das Problem :D
> Ich weiss das beide unabhängig sind und das X+Y=l sind
> und 0 [mm]\le[/mm] l. Leider stehe ich echt auf dem Schlauch :/
> wahrscheinlich ist es offensichtlich aber ich komme einfach
> nicht drauf
Das Problem ist, wir wissen nicht, ueber welche Vorkenntnisse du verfuegst. Sagt dir der Faltungssatz etwas? Oder habt ihr generell behandelt, wie man die Verteilung einer Summe von Zufallsvariablen bestimmt? Du solltest herausfinden, dass $X+Y$ eine negative Binomalverteilung besitzt, auch Pascal-Verteilung genannt.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:01 So 23.03.2014 | | Autor: | CaNi |
puh, schwierig für eine Klausuraufgabe... Also habe mal gegoogelt, der Faltungssatz ist mir gänzlich unbekannt, die negative Binomialverteilung hatten wir drangenommen. Dazu habe ich "Übergang zur Bernoulli-Verteilung
Die Summe von identischen Bernoulli-verteilten Zufallsgrößen genügt der Binomialverteilung." das hier gefunden.
Bedeutet also das P[X+Y = l ] = [mm] \vektor{l\\k} [/mm] * [mm] p^k (1-p)^{l-k} [/mm] ?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:07 So 23.03.2014 | | Autor: | luis52 |
> puh, schwierig für eine Klausuraufgabe...
Gar nicht, wenn du dich der Vorlesungsinhalte erinnerst, s.u.
> Also habe mal
> gegoogelt, der Faltungssatz ist mir gänzlich unbekannt,
> die negative Binomialverteilung hatten wir drangenommen.
Aha!
> Dazu habe ich "Übergang zur Bernoulli-Verteilung
> Die Summe von identischen Bernoulli-verteilten
> Zufallsgrößen genügt der Binomialverteilung."
Bitte etwas genauer: Die Summe von identischen Bernoulli-verteilten
Zufallsgrößen genügt der negativen Binomialverteilung.
Es handelt sich um $k$ Variablen.
> das hier
> gefunden.
> Bedeutet also das P[X+Y = l ] = [mm]\vektor{l\\k}[/mm] * [mm]p^k (1-p)^{l-k}[/mm]
> ?
Ja, mit $k=2$.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:19 So 23.03.2014 | | Autor: | CaNi |
Ok, super! Vielen Dank!
Also wäre es:
P(X=k $ [mm] \mid [/mm] $ X+Y = $ [mm] l)=\frac{P(X=k,X+Y=l)}{P(X+Y=l)}=\frac{P(X=k,Y=l-k)}{P(X+Y=l)}= \frac{P(X=k) P(Y=l-k)}{P(X+Y=l)} [/mm] $ = $ [mm] \frac{((1-p)^k \cdot{}p ) \cdot{} ((1-p)^{l-k} \cdot{} p)}{P(X+Y=l)} [/mm] $ = [mm] \frac{(p^2 * (1-p)^l)}{ \vektor{l\\k} * p^k (1-p)^{l-k} } [/mm]
wieso mit k=2 ? und kann man da noch weiter vereinfachen? Mit k=2 kann man ja [mm] p^2 [/mm] raus kürzen und [mm] (1-p)^{l-2} [/mm] mit dem zähler kürzen so das stehen bleiben würde [mm] \frac{(1-p)^2}{\vektor{l\\k}}
[/mm]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:39 So 23.03.2014 | | Autor: | luis52 |
> wieso mit k=2 ?
$X+Y$ hat zwei Summanden.
> und kann man da noch weiter vereinfachen?
> Mit k=2 kann man ja [mm]p^2[/mm] raus kürzen und [mm](1-p)^{l-2}[/mm] mit
> dem zähler kürzen so das stehen bleiben würde
> [mm]\frac{(1-p)^2}{\vektor{l\\k}}[/mm]
Es koennte sein, dass du dir die falsche negative Binomialverteilung herausgesucht hast. Deine muss die Werte [mm] $0,1,2,\ldots$ [/mm] annehmen. Ich ueberschaue nicht, ob dein Ansatz das tut.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:47 So 23.03.2014 | | Autor: | CaNi |
hmmmm, vielen dank für deine Hilfe, bei mir dreht sich langsam alles :D
Habe morgen Klausur, weiss nun gerade nicht mehr weiter...
Du hast mir aber schon super viel geholfen! Danke dafür
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:02 So 23.03.2014 | | Autor: | luis52 |
> Du hast mir aber schon super viel geholfen! Danke dafür
Na dann, toi, toi, toi!
|
|
|
|
