Z.z Verteilungsfkt wachsend < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 12:24 Fr 27.11.2009 | | Autor: | Irmchen |
Hallo alle zusammen!
Vorab: Auch in diesem Artikel handelt es sich um einen Ausschnitt meiner Diplomarbeit.
Es geht sich um einen Beweis, dass eine kum. Verteilungsfunktion stetig und steng wachsend ist. Angenommen Stetigkeit sei schon bewiesen.
Lemma :
Sei X Zufallsverktor auf [mm] \mathbb R^s [/mm] mit Verteilung P.
Definiere [mm] f: \mathbb R^s \to \mathbb R [/mm] durch die Vorschrift
[mm] f(x) = x_{(i)} [/mm] für festes [mm] 1 \le i \le s [/mm], wobei
[mm] x_{(1)} \le ... \le x_{(s)} [/mm].
Sei desweiteren vorausgesetzt:
1. die (eindimendionalen) Randverteilungen von P besitzen stetige kum. Verteilungsfunktionen
2. der Träger [mm] supp (X) [/mm] ist zusammenhängend.
Dann gilt: [mm] f(X) [/mm] hat stetige und streng wachsende (kum.) Verteilungsfunktion.
Beweis : ( das (kum.) Verteilungsfunktion streng wachsend ist )
Widerspruchsbeweis :
Angenommen, [mm] \exists a, b \in \mathbb R [/mm] mit [mm] a < b [/mm], so dass
[mm] P \{ f(X) \in (a,b) \} = 0 [/mm], aber [mm] P \{ f(X) \le a \} \ge 0 [/mm] und [mm] P \{ f(X) \ge b \} \ge 0 [/mm]
Wegen [mm] P \{ f(X) \le a \} \ge 0 [/mm] und [mm] P \{ f(X) \ge b \} \ge 0 [/mm] [mm] \exists \ x \in supp(X) [/mm] mit [mm] f(x) \le a [/mm] und [mm] \exists \ x' \in supp(X) [/mm] mit [mm] f(x') \ge b [/mm].
Definiere nun die Menge
[mm] A_{a,b} := \{ x \in supp(X) \ | \ a < f(x) < b \} [/mm].
Aufgrund der Stetigkeit von [mm] f(x) [/mm] und der vorausgesetzten Eigenschaft des zusammenhängenden Trägers [mm] supp(X) [/mm] folgt, dass [mm] A_{a,b} \ne \emptyset [/mm].
* [ Deweiteren enthält die Menge [mm] A_{a,b} [/mm] eine offene Teilmenge des Trägers [mm] supp(X) [/mm]. ]
Damit folgt insgesamt mit der Definition von [mm] supp(X) [/mm], dass
[mm] P \{ X \in A_{a,b} \} = P \{ f(X) \in (a,b) \} > 0 [/mm].
Somit ergibt sich ein Widerspruch zur Annahme, dass
[mm] P \{ f(X) \in (a,b) \} = 0 [/mm], und damit ist gezeigt, dass die (kum.) Verteilungsfuktion streng wachsend ist.
Ist der Beweis soweit ok? Kann man * weglassen?
In dem Beweis ist bewiesen, dass die Verteilungsfunktion immer größer Null ist... reicht denn das für die Eigenschaft streng wachsend?
Diese Beweis ist stichpunktartig so in dem Paper, welches ich zur Ausarbeiteung habe, dargestellt. ich habe versucht ihn weiter auszuarbeiten.
Ich hätte intuitiv den Beweis anders angefangen.. Ich hätte ebenfalls [mm] a, b [/mm] mit [mm] a < b [/mm] betrachtet, und hätte versucht zu zeigen, dass [mm] F(a) < F(b) [/mm] ist . Wäre das falsch?
Vielen Dank für Eure Mühe!
Viele Grüße
Irmchen
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:20 Sa 05.12.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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