(X-A)(X-B)=X^2 +pX +qI_2 < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:19 Mo 31.03.2014 | | Autor: | elmanuel |
| Aufgabe | Sei A= [mm] \pmat{ 0 & -q \\ 1 & -p } [/mm] mit p,q aus [mm] \IQ
[/mm]
Finden Sie eine Matrix B die mit A kommutiert sodass gilt
[mm] (X-A)(X-B)=X^2 [/mm] +pX [mm] +qI_2
[/mm]
für alle X die mit A und B kommutieren |
Hallo liebe Gemeinde!
also ich hab mal raus dass [mm] A^2 [/mm] +pA [mm] +qI_2=0 [/mm] (durch nachrechnen)
dann hab ich noch die Gleichung
[mm] (X-A)(X-B)=X^2 [/mm] +pX [mm] +qI_2
[/mm]
etwas umgeformt und habe dann gesehen dass wenn ich B als [mm] pI_2 [/mm] wähle die Gleichung aufgeht sodass
AX +pA [mm] +qI_2 [/mm] = 0
was ja stimmen würde wenn X=A wäre
hat jemand einen Tipp? Bin ich am richtigem Weg?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:44 Mo 31.03.2014 | | Autor: | Sax |
Hi,
> Sei A= [mm]\pmat{ 0 & -q \\ 1 & -p }[/mm] mit p,q aus [mm]\IQ[/mm]
>
> Finden Sie eine Matrix B die mit A kommutiert sodass gilt
>
> [mm](X-A)(X-B)=X^2[/mm] +pX [mm]+qI_2[/mm]
>
> für alle X die mit A und B kommutieren
> Hallo liebe Gemeinde!
>
> also ich hab mal raus dass [mm]A^2[/mm] +pA [mm]+qI_2=0[/mm] (durch
> nachrechnen)
>
> dann hab ich noch die Gleichung
>
> [mm](X-A)(X-B)=X^2[/mm] +pX [mm]+qI_2[/mm]
>
> etwas umgeformt und habe dann gesehen dass wenn ich B als
> [mm]pI_2[/mm] wähle die Gleichung aufgeht sodass
>
Du kannst B nicht wählen, sondern musst es berechnen.
> AX +pA [mm]+qI_2[/mm] = 0
>
> was ja stimmen würde wenn X=A wäre
Die Gleichung soll aber für alle X mit ... gelten !
>
> hat jemand einen Tipp? Bin ich am richtigem Weg?
Tipp : multipliziere die linke Seite der Gleichung $ [mm] (X-A)(X-B)=X^2 [/mm] $ +pX $ [mm] +qI_2 [/mm] $ aus, benutze [mm] AB=qI_2 [/mm] um B zu ermitteln und rechne nach, dass der Rest dann auch stimmt.
Gruß Sax.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:35 Di 01.04.2014 | | Autor: | elmanuel |
Danke Sax!
also wenn ich mich nicht täusche müsste B dann so aussehen
[mm] \pmat{ -p & q \\ -1 & 0 }
[/mm]
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