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Aus der oben angegebene Gleichung wollte ich alle 3 möglichen Lösungen erhalten.
Also hab ich erstmal das reduzierte kubische Polynom (x³ + ax = b) im Allgemeinen umgeformt und bin auf folgende allseitsbekannte Formel gestoßen:
[mm] x=\wurzel[3]{\bruch{b}{2} + \wurzel{(\bruch{b}{2})^2 + (\bruch{a}{3})^3}} [/mm] + [mm] \wurzel[3]{\bruch{b}{2} - \wurzel{(\bruch{b}{2})^2 + (\bruch{a}{3})^3}}
[/mm]
Habe dann meine Werte 'a' und 'b' eingesetzt und kam letztendlich auf:
[mm] x=\wurzel[3]{10 + \wurzel{108}} [/mm] + [mm] \wurzel[3]{10 - \wurzel{108}}
[/mm]
Natürlich kann man aus der "einfachen" Gleichung "x³ + 6x = 20" sofort erkennen, dass '2' eine reelle Lösung sein müsste, d.h. die Formel sollte '2' rausspucken, falls es keine 2 weiteren reellen Lösungen gibt.
Nur wie löse ich dieses Wurzelungetüm auf, sodass ich genau auf '2' stoße?
Mit den Taschenrechner könnte ich höchstens approximativ auf die '2' kommen, was aber ziemlich enttäuschend wäre.
Die Wurzelterme sehen dazu ziemlich symmetrisch aus, gibt es da irgendein mathematischen Kunstgriff für?
Ich würde mich um eine Antwort freuen,
Danke!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hiho,
also da sogar Wikipedia dazu schreibt:
"Allerdings ist das Ausziehen der Kubikwurzeln nicht immer so einfach. Cardano führt als Beispiel an: [mm] $z^3 [/mm] + 6z - 20 = 0$. Hierbei wählen wir [mm] $u=\sqrt[3]{10 + \sqrt{108}} [/mm] = [mm] 1+\sqrt{3}$ [/mm] und [mm] $v=\sqrt[3]{10 - \sqrt{108}} [/mm] = [mm] 1-\sqrt{3}$ [/mm] reell. Somit ergibt sich [mm] $z_1 [/mm] = 2$ und [mm] $z_{2,3} [/mm] = − [mm] 1\pm3i$. [/mm] Auf die Techniken zum Ausziehen von verschachtelten Wurzeln sei auf die Fachliteratur verwiesen."
nein.
Wenn du allerdings eine Nullstelle bereits erkennst => Polynomdivision und quadratische Gleichung lösen.
MFG,
Gono.
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