Wurzeln < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:34 Mo 18.02.2013 | | Autor: | Labrinth |
| Aufgabe | | Man zeige: Für [mm] $n,k\in\mathbb{N}$ [/mm] ist [mm] $\sqrt[k]{n}$ [/mm] entweder eine natürliche Zahl, oder eine irrationale. |
Guten Tag!
Ich wüsste gerne, ob meine Argumentation genügt:
Es seien [mm] $p,q\in\mathbb{N}$ [/mm] teilerfremd; [mm] $q\not=1$. [/mm] Ferner seien [mm] $q_i,p_i$ [/mm] Primzahlen und es gelte [mm] $p=\prod_{j=1}^Pp_j$ [/mm] und [mm] $q=\prod_{j=1}^Qq_j$, $P,Q\in\mathbb{N}$. [/mm] Dann ist [mm] $(p/q)^k=\prod_{j=1}^Pp_j^k/\prod_{j=1}^Qq_j^k\notin\mathbb{N}$.
[/mm]
Muss man das (im Rahmen einer Analysis 1 Aufgabe) noch näher begründen?
Beste Grüße,
Labrinth
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
Hallo Labrinth,
> Man zeige: Für [mm]n,k\in\mathbb{N}[/mm] ist [mm]\sqrt[k]{n}[/mm] entweder
> eine natürliche Zahl, oder eine irrationale.
> Guten Tag!
>
> Ich wüsste gerne, ob meine Argumentation genügt:
>
> Es seien [mm]p,q\in\mathbb{N}[/mm] teilerfremd; [mm]q\not=1[/mm]. Ferner
> seien [mm]q_i,p_i[/mm] Primzahlen und es gelte [mm]p=\prod_{j=1}^Pp_j[/mm]
> und [mm]q=\prod_{j=1}^Qq_j[/mm], [mm]P,Q\in\mathbb{N}[/mm]. Dann ist
> [mm](p/q)^k=\prod_{j=1}^Pp_j^k/\prod_{j=1}^Qq_j^k\notin\mathbb{N}[/mm].
>
> Muss man das (im Rahmen einer Analysis 1 Aufgabe) noch
> näher begründen?
Du hast gezeigt, dass die k-te Potenz einer nicht ganzen rationalen Zahl keine natürliche Zahl sein kann.
Damit ist die Aufgabe in der Tat gelöst, aber Du solltest die Aussage meines letzten Absatzes entweder als Ansatz formuliert haben oder wenigstens als Feststellung am Ende Deines Beweises - samt dem Hinweis, dass damit die Aufgabe vollständig erledigt ist.
Grüße
reverend
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:43 Mo 18.02.2013 | | Autor: | Labrinth |
Danke 
|
|
|
|
