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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:22 Fr 12.08.2005 | | Autor: | trulli |
Behauptung wurzel2 ist keine ration. Zahl, d.h. Wurzel 2 läßt sich nicht in der Form p durch q (p,q [mm] \varepsilon [/mm] N, p,q, teilerfremd bzw. ggt 8p gleich q gleich 1 darstellen. Beweis durch Widerspruch: angenommen Wurzel2 wäre eine ration. zahl, dann gäb esp,q,varepsilon N, p,q tf mit p durch q gleich wurzel2, also pmal p durch q mal q gleich2.
Dann wäre p mal p gleich 2 mal q mal q und damit p hoch2 und auch p eine gerade zahl. (durch 2 teilbar).Es gäbe dann ein U [mm] \in\IN [/mm] mit 2u gleich p. Das heisst pmal p gleich 2malumal2malu gleich4uhoch2 gleich 2mal q malq.daran folgt: 2uhoch2 gleich q mal q, also wäre auch q hoch 2 und damit q eine gerade zahl 8 durch 2 teilbar d.h. ggT 8p,q) größer 1 durch W. Dies ist ein Widerspruch zur Voraussetzung, also ist die Annahme falsch und Wurzel 2 nicht rational.
Hilfe , ich versteh nix...wer bklickt durch und kann mir helfen? was bedeutet q und p ?????? daaankke trulli und Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo.
> Behauptung wurzel2 ist keine ration. Zahl, d.h. Wurzel 2
> läßt sich nicht in der Form p durch q (p,q [mm]\varepsilon[/mm] N,
> p,q, teilerfremd bzw. ggt 8p gleich q gleich 1 darstellen.
> Beweis durch Widerspruch: angenommen Wurzel2 wäre eine
> ration. zahl, dann gäb esp,q,varepsilon N, p,q tf mit p
> durch q gleich wurzel2, also pmal p durch q mal q gleich2.
> Dann wäre p mal p gleich 2 mal q mal q und damit p hoch2
> und auch p eine gerade zahl. (durch 2 teilbar).Es gäbe dann
> ein U [mm]\in\IN[/mm] mit 2u gleich p. Das heisst pmal p gleich
> 2malumal2malu gleich4uhoch2 gleich 2mal q malq.daran folgt:
> 2uhoch2 gleich q mal q, also wäre auch q hoch 2 und damit q
> eine gerade zahl 8 durch 2 teilbar d.h. ggT 8p,q) größer 1
> durch W. Dies ist ein Widerspruch zur Voraussetzung, also
> ist die Annahme falsch und Wurzel 2 nicht rational.
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> Hilfe , ich versteh nix...wer bklickt durch und kann mir
> helfen? was bedeutet q und p ?????? daaankke trulli und
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
Also: Vorweg: p und q sind ganze Zahlen.
Nehmen wir an, [mm] \sqrt{2} [/mm] wäre rational, dann gäbe es eben, so sind die rationalen Zahlen definiert, ganze Zahlen p und q mit [mm] \sqrt{2}=\frac{p}{q}, [/mm] so, daß man p und q nicht mehr kürzen kann.
Wenn wir das quadrieren, erhalten wir [mm] $2=\frac{p^2}{q^2} \gdw p^2=2q^2$, [/mm] das heißt aber wiederum, daß [mm] p^2 [/mm] eine gerade Zahl ist.
Wäre p eine ungerade Zahl, so wäre auch [mm] p^2 [/mm] ungerade, also muß p gerade sein (d.h. p ist durch 2 teilbar).
das heißt wiederum, es gibt eine Zahl r mit p=2r.
Wenn wir das nun einsetzen, erhalten wir [mm] $4r^2=2q^2\gdw q^2=2r^2$.
[/mm]
Genauso wie oben erhalten wir nun, daß auch q eine gerade Zahl sein muß.
Was haben wir nun insgesamt?
Wenn [mm] \sqrt{2} [/mm] rational ist, so ist p ist durch 2 teilbar und auch q durch 2 teilbar, also können wir aus [mm] \frac{p}{q} [/mm] die 2 rauskürzen!
Das ist aber ein Widerspruch zu unserer Annahme, also kann [mm] \sqrt{2} [/mm] nicht rational sein!
Gruß,
Christian
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:20 Fr 12.08.2005 | | Autor: | trulli |
Hi Christian, toll!!!!!!!
nur- ich weiß nicht, warum ich quadrieren soll....wie kommst du zur ersten Berechnungszeile, das raff ich nicht. Lieben Gruß
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:44 Fr 12.08.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo trulli,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !!
Das Quadrieren auf beiden Seiten der Gleichung wenden wir an, um die Wurzel aus unserer Ausgangsgleichung [mm] $\wurzel{2} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{p}{q}$ [/mm] "los zu werden".
Daraus ergibt sich:
[mm] $\left(\wurzel{2} \ \right)^2 [/mm] \ = \ [mm] \left(\bruch{p}{q}\right)^2$
[/mm]
$2 \ = \ [mm] \bruch{p^2}{q^2}$ $\left| \ * \ q^2$
$2q^2 \ = \ p^2$
Nun klar(er) und [lichtaufgegangen] ??
Gruß
Loddar
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:49 Sa 13.08.2005 | | Autor: | trulli |
Gerettet!!!!!!!!! Oh, ich danke euch und üb jetzt weiter trulli
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