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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:45 Fr 30.04.2010 | | Autor: | Unk |
| Aufgabe | | Berechne [mm] (\sqrt{x})^2. [/mm] |
Hallo,
ich bin gerade etwas durcheinander.
Es gilt ja [mm] \sqrt{x^2}=\pm [/mm] x.
Wenn ich jetzt [mm] (\sqrt{x})^2 [/mm] betrachte, bin ich bisher davon ausgegangen, dass das =x ist.
Konkret für
x=4: [mm] \sqrt{4}^2=4.
[/mm]
Andererseits wäre doch aber [mm] -\sqrt{4} [/mm] auch eine Lösung, oder nicht?
[mm] \sqrt{4} [/mm] ist aber wieder [mm] \pm [/mm] 2, damit wäre [mm] -\sqrt{4} [/mm] auch wieder [mm] \pm [/mm] 2.
Dann müsste -2 aber auch eine sein.
Andererseits wird aber (vorausgesetzt komplexe Zahlen sind nicht erlaubt) gesagt, um [mm] \sqrt{x}^2 [/mm] berechnen zu können, müsste [mm] x\geq [/mm] 0 sein.
Irgendwie bin ich verwirrt!
Was ist jetzt [mm] \sqrt{x}^2? [/mm] Und wo besteht der Unterschied zu [mm] \sqrt{x^2}?
[/mm]
Ist nicht trotzdem einfach [mm] \sqrt{-3}^2=-3 [/mm] berechenbar ohne kompl. Zahlen zu kennen?
Gibt es auch noch einen Unterschied zwischen [mm] (\sqrt{x})^2 [/mm] und [mm] \sqrt{x}^2?
[/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:20 Fr 30.04.2010 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Berechne [mm](\sqrt{x})^2.[/mm]
>
> Hallo,
> ich bin gerade etwas durcheinander.
> Es gilt ja [mm]\sqrt{x^2}=\pm[/mm] x.
>
> Wenn ich jetzt [mm](\sqrt{x})^2[/mm] betrachte, bin ich bisher davon
> ausgegangen, dass das =x ist.
> Konkret für
> x=4: [mm]\sqrt{4}^2=4.[/mm]
Ja.
> Andererseits wäre doch aber [mm]-\sqrt{4}[/mm] auch eine Lösung,
> oder nicht?
Nein, warum sollte es?
> [mm]\sqrt{4}[/mm] ist aber wieder [mm]\pm[/mm] 2, damit wäre [mm]-\sqrt{4}[/mm] auch
> wieder [mm]\pm[/mm] 2.
Ja, das schon. Aber 4 ist gleich +4, und nicht gleich -4.
> Dann müsste -2 aber auch eine sein.
Eine Loesung wovon?
> Andererseits wird aber (vorausgesetzt komplexe Zahlen sind
> nicht erlaubt) gesagt, um [mm]\sqrt{x}^2[/mm] berechnen zu können,
> müsste [mm]x\geq[/mm] 0 sein.
>
> Irgendwie bin ich verwirrt!
> Was ist jetzt [mm]\sqrt{x}^2?[/mm] Und wo besteht der Unterschied
> zu [mm]\sqrt{x^2}?[/mm]
> Ist nicht trotzdem einfach [mm]\sqrt{-3}^2=-3[/mm] berechenbar ohne
> kompl. Zahlen zu kennen?
>
> Gibt es auch noch einen Unterschied zwischen [mm](\sqrt{x})^2[/mm]
> und [mm]\sqrt{x}^2?[/mm]
Also:
In [mm] $(\sqrt{x})^2$ [/mm] ist [mm] $\sqrt{x}$ [/mm] eine Loesung der Gleichung [mm] $y^2 [/mm] = x$. Wenn du also $y = [mm] \sqrt{x}$ [/mm] einsetzt, steht da [mm] $\sqrt{x}^2 [/mm] = [mm] y^2 [/mm] = x$. Also ist [mm] $(\sqrt{x})^2 [/mm] = x$.
In [mm] $\sqrt{x^2}$ [/mm] ist [mm] $\sqrt{x^2}$ [/mm] eine Loesung der Gleichung [mm] $y^2 [/mm] = [mm] (x^2)$. [/mm] Hier sieht man sofort, dass sowohl $x$ wie auch $-x$ eine Loesung ist.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:30 Fr 30.04.2010 | | Autor: | Unk |
Hallo,
> Also:
>
> In [mm](\sqrt{x})^2[/mm] ist [mm]\sqrt{x}[/mm] eine Loesung der Gleichung [mm]y^2 = x[/mm].
> Wenn du also [mm]y = \sqrt{x}[/mm] einsetzt, steht da [mm]\sqrt{x}^2 = y^2 = x[/mm].
> Also ist [mm](\sqrt{x})^2 = x[/mm].
Ok. Aber andererseits ist [mm] y=-\sqrt{x} [/mm] dann doch auch eine Lösung. Oder nicht? Dann dachte ich noch [mm] \sqrt{-x}^2=\sqrt{-x}\sqrt{-x}=\sqrt{(-x)^2}=\sqrt{x^2}??
[/mm]
>
> In [mm]\sqrt{x^2}[/mm] ist [mm]\sqrt{x^2}[/mm] eine Loesung der Gleichung [mm]y^2 = (x^2)[/mm].
> Hier sieht man sofort, dass sowohl [mm]x[/mm] wie auch [mm]-x[/mm] eine
> Loesung ist.
>
> LG Felix
>
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:48 Fr 30.04.2010 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> > In [mm](\sqrt{x})^2[/mm] ist [mm]\sqrt{x}[/mm] eine Loesung der Gleichung [mm]y^2 = x[/mm].
> > Wenn du also [mm]y = \sqrt{x}[/mm] einsetzt, steht da [mm]\sqrt{x}^2 = y^2 = x[/mm].
> > Also ist [mm](\sqrt{x})^2 = x[/mm].
>
> Ok. Aber andererseits ist [mm]y=-\sqrt{x}[/mm] dann doch auch eine
> Lösung. Oder nicht? Dann dachte ich noch
> [mm]\sqrt{-x}^2=\sqrt{-x}\sqrt{-x}=\sqrt{(-x)^2}=\sqrt{x^2}??[/mm]
Ja. Aber das Ergebnis ist immer noch $x$.
LG Felix
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:15 Fr 30.04.2010 | | Autor: | fred97 |
Vielleicht legt sich die Verwirrung, wenn noch mal ganz klar gesagt wird, dass
[mm] $\wurzel{x^2}=|x|$
[/mm]
ist.
FRED
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> Berechne [mm](\sqrt{x})^2.[/mm]
> Hallo,
> ich bin gerade etwas durcheinander.
> Es gilt ja [mm]\sqrt{x^2}=\pm[/mm] x.
Was meinst du damit genau ??
Es trifft nicht zu, dass der Term [mm] \sqrt{x^2} [/mm] zwei verschiedene Werte hat !
Falls [mm] x\ge0, [/mm] dann ist [mm] $\sqrt{x^2}\ [/mm] =\ x$
Falls x<0, dann ist [mm] $\sqrt{x^2}\ [/mm] =\ -x$
Denn definitionsgemäss ist die Quadratwurzel aus einer nicht-
negativen reellen Zahl stets nicht-negativ.
> Wenn ich jetzt [mm](\sqrt{x})^2[/mm] betrachte, bin ich bisher davon
> ausgegangen, dass das =x ist.
Dies stimmt, jedoch ist [mm] \sqrt{x} [/mm] in [mm] \IR [/mm] nur definiert, falls [mm] x\ge0 [/mm] ist.
> Konkret für
> x=4: [mm]\sqrt{4}^2=4.[/mm]
> Andererseits wäre doch aber [mm]-\sqrt{4}[/mm] auch eine Lösung,
> oder nicht?
Natürlich ist [mm] (-\sqrt{4}=-2) [/mm] ebenfalls eine Lösung der Gleichung [mm] x^2=4
[/mm]
Daraus darf man aber sicher nicht schließen, dass [mm] -2=\sqrt{4} [/mm] sei, denn
dies widerspräche der Definition der Quadratwurzel.
> [mm]\sqrt{4}[/mm] ist aber wieder [mm]\pm[/mm] 2, ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Es ist [mm] \sqrt{4}=+2 [/mm] (eindeutig definiert)
> damit wäre [mm]-\sqrt{4}[/mm] auch
> wieder [mm]\pm[/mm] 2.
Spätestens hier kommt man eben auf ganz dünnes brüchiges
Eis. Die Konsequenz wäre ja, dass man dann die Gleichung
-2=+2 aakzeptieren müsste, und dies ist offensichtlich unsinnig.
Genau aus diesem Grund wurde (erst im 20. Jahrhundert)
der Quadratwurzelbegriff eindeutig festgelegt. Leider geistern
aber solche Ausdrücke wie "mehrdeutige Wurzelausdrücke
immer noch in gewissen Köpfen - und leider wohl auch in
gewissen Büchern - umher und stiften weiterhin für eine
heillose Verwirrung bei manchen Lernenden.
> Dann müsste -2 aber auch eine sein.
> Andererseits wird aber (vorausgesetzt komplexe Zahlen sind
> nicht erlaubt) gesagt, um [mm]\sqrt{x}^2[/mm] berechnen zu können,
> müsste [mm]x\geq[/mm] 0 sein. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Das ist richtig.
> Irgendwie bin ich verwirrt!
> Was ist jetzt [mm]\sqrt{x}^2?[/mm] Und wo besteht der Unterschied
> zu [mm]\sqrt{x^2}?[/mm]
Der erste Term ist nur definiert, falls [mm] x\ge0 [/mm] ; und sein Wert entspricht x.
Der zweite Term ist für alle reellen Werte von x definiert; sein Wert
entspricht |x| , also dem Absolutbetrag der Zahl x.
> Ist nicht trotzdem einfach [mm]\sqrt{-3}^2=-3[/mm] berechenbar ohne
> kompl. Zahlen zu kennen?
Damit der Term [mm] \sqrt{-3}^2 [/mm] Sinn machen soll, muss definiert sein,
was sein Bestandteilterm [mm] \sqrt{-3} [/mm] genau bedeuten soll. Dies ist
nur klar, falls man sich auf komplexe Zahlen stützt.
Eigentlich haben gewisse Rezepte zum Lösen von quadratischen
Gleichungen, bei denen manchmal Wurzelausdrücke mit negativen
Radikanden auftraten, vor einigen hundert Jahren zur Einführung der
imaginären und komplexen Zahlen geführt.
>
> Gibt es auch noch einen Unterschied zwischen [mm](\sqrt{x})^2[/mm]
> und [mm]\sqrt{x}^2?[/mm]
Nein - das kann man ebenso gut mit oder ohne Klammern schreiben.
LG Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:55 Fr 30.04.2010 | | Autor: | Unk |
Danke, das war schon hilfreich. Wir haben nur damals in der Schule schon immer geschrieben: [mm] \sqrt{4}=x\Rightarrow 4=x^2\Rightarrow x=\pm [/mm] 2.
Das ist doch dann aber auch schon falsch. Dann müsste man doch folgern |x|=2, oder kann man das mit dem [mm] \pm [/mm] 2 machen?
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Hallo Unk!
> Danke, das war schon hilfreich. Wir haben nur damals in der
> Schule schon immer geschrieben: [mm]\sqrt{4}=x\Rightarrow 4=x^2\Rightarrow x=\pm[/mm]
> 2.
> Das ist doch dann aber auch schon falsch.
Nein, ist es nicht. Du hast ja selber nur [mm] $\Rightarrow$ [/mm] verwendet und keine [mm] $\gdw$ [/mm] .
Schließlich ist das Quadreiren einer Gleichung keine Äquivalanzumformung.
Das zweite [mm] $\Rightarrow$ [/mm] kann aber getrost durch [mm] $\gdw$ [/mm] ersetzt werden.
> Dann müsste man doch folgern |x|=2, oder kann man das mit dem [mm]\pm[/mm] 2
> machen?
Das kann man so machen, denn $|x| \ = \ 2$ ist äquivalent zu $x \ = \ [mm] \pm [/mm] \ 2$ .
Gruß vom
Roadrunner
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> Hallo Unk!
>
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> > Danke, das war schon hilfreich. Wir haben nur damals in der
> > Schule schon immer geschrieben: [mm]\sqrt{4}=x\Rightarrow 4=x^2\Rightarrow x=\pm[/mm] 2.
> > Das ist doch dann aber auch schon falsch.
>
> Nein, ist es nicht. Du hast ja selber nur [mm]\Rightarrow[/mm]
> verwendet und keine [mm]\gdw[/mm] .
> Schließlich ist das Quadrieren einer Gleichung keine
> Äquivalanzumformung.
> Das zweite [mm]\Rightarrow[/mm] kann aber getrost durch [mm]\gdw[/mm]
> ersetzt werden.
>
>
> > Dann müsste man doch folgern |x|=2, oder kann man das mit
> dem [mm]\pm[/mm] 2
> > machen?
>
> Das kann man so machen, denn [mm]|x| \ = \ 2[/mm] ist äquivalent zu
> [mm]x \ = \ \pm \ 2[/mm] .
>
>
> Gruß vom
> Roadrunner
Das Problem ist einfach, dass die Schreibweise [mm] x=\pm2 [/mm] unpraktisch ist, weil
sie oft zu falschen Schlüssen verleitet. Man sollte dieses [mm] \pm [/mm] einfach aus der
Mathematik verbannen !
Falls mit [mm] "x=\pm2" [/mm] gemeint sein sollte "x=2 [mm] \vee [/mm] x=-2" (was man dann
eigentlich auch genau so schreiben sollte !), dann ist die Implikationskette
[mm] $\sqrt{4}=x\Rightarrow 4=x^2\Rightarrow x=\pm2$
[/mm]
natürlich richtig. Dabei kann man den zweiten Pfeil auch durch
einen Doppelpfeil [mm] (\gdw) [/mm] ersetzen, den ersten aber nicht.
LG Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:14 Mo 03.05.2010 | | Autor: | Unk |
Hallo,
das mag hier vielleicht eine Diskussion von nicht fruchtbaren Gedanken sein, aber irgendwie tut sich da bei mir immer noch ein Widerspruch auf.
Die vorangegangene Aussage gilt ja, und ich habe eigtl. bisher nie darüber nachgedacht.
Wenn ich aber habe [mm] \sqrt{4}=x\Rightarrow...\Rightarrow [/mm] x=2 oder x=-2
und bedenke, dass wir die Eindeutigkeit festgelegt habe, d.h. wir also schon wissen, dass [mm] \sqrt{4}=2, [/mm] also x=2, dann kann ich doch auch nicht daraus folgern, dass x=2 oder x=-2.
Wenn ich es zwischendurch auf die Gleichung [mm] x^2=4 [/mm] zurückführe, dann ist mir die Schlussfolgerung klar, mit dem Anfang [mm] \sqrt{4}=x [/mm] aber wiederum nicht.
Dass die Umkehrung unbedingt falsch ist, ist sowieso klar.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:53 Mo 03.05.2010 | | Autor: | fred97 |
Du mußt unterscheiden zwischen "Wurzelziehen" und dem Lösen von Gleichungen
Die Wurzel aus einer nichtnegativen Zahl ist stets nicht negativ.
Beispiel:
[mm] \wurzel[]{4}=2.
[/mm]
Dagegen hat die Gleichung [mm] x^2=4 [/mm] zwei Lösungen: x= [mm] \pm \wurzel[]{4}= \pm [/mm] 2.
FRED
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> Du mußt unterscheiden zwischen "Wurzelziehen" und dem
> Lösen von Gleichungen
>
> Die Wurzel aus einer nichtnegativen Zahl ist stets nicht
> negativ.
>
> Beispiel:
>
> [mm]\wurzel[]{4}=2.[/mm]
>
> Dagegen hat die Gleichung [mm]x^2=4[/mm] zwei Lösungen: x= [mm]\pm \wurzel[]{4}= \pm[/mm] 2.
>
> FRED
Hallo zusammen,
ich würde eben auch im Fall der Lösung einer Gleichung wie [mm] x^2=4
[/mm]
vorschlagen, auf die immer wieder zu Missverständnissen führende
Schreibweise mit dem ± - Symbol ganz zu verzichten !.
Man kann doch ohne weiteres die beiden möglichen Lösungen
mit Indices bezeichnen und aufschreiben:
$\ [mm] x_1\ [/mm] =\ +2$ $\ [mm] x_2\ [/mm] =\ -2$
oder die "oder"-Schreibweise verwenden:
$\ x\ =\ +2\ \ [mm] \vee\ [/mm] \ x\ =\ -2$
oder die Lösungsmenge der Gleichung hinschreiben:
[mm] $\IL\ [/mm] =\ [mm] \{\,2\,,\,-2\,\}$
[/mm]
Das winzige bisschen Einsparung an Schreibarbeit, das man sich
mit dem doofen "±" vermeintlich schafft, lohnt sich einfach
angesichts der erheblichen Nachteile infolge möglicher Missver-
ständnisse nicht !
Gruß Al-Chw.
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