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Wurzelkriterium Beweis: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:07 Do 09.02.2012
Autor: EvelynSnowley2311

huhu,

mal ne Frage: Würde es als Beweis nicht ausreichen so zu argumentieren?

Sei [mm] \wurzel[n]{|a_{n}|} [/mm] < 1, dann gibt es ein q [mm] \in [/mm] (0,1) mit [mm] \wurzel[n]{|a_{n}|} \le [/mm] q   .

Kann ich nicht jetzt einfach beide Seiten mit [mm] |^{n} [/mm] bearbeiten, sodass ich direkt auf [mm] |a_{n}| \le q^{n} [/mm] , dass ich direkt die Abschätzung mit der geometrischen Reihe als Majorante habe?

        
Bezug
Wurzelkriterium Beweis: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:20 Do 09.02.2012
Autor: fred97


> huhu,
>  
> mal ne Frage: Würde es als Beweis nicht ausreichen so zu
> argumentieren?
>  
> Sei [mm]\wurzel[n]{|a_{n}|}[/mm] < 1,

Für welche , "wieviele" n soll das gelten ?

> dann gibt es ein q [mm]\in[/mm] (0,1)  mit [mm]\wurzel[n]{|a_{n}|} \le[/mm] q   .

Für welche , "wieviele" n soll das gelten ?

Ich vermute, Du meinst, dass aus [mm]\wurzel[n]{|a_{n}|}[/mm] < 1 für (fast) alle n [mm] \in \IN [/mm] folgt, dass es ein q [mm]\in[/mm] (0,1) gibt  mit [mm]\wurzel[n]{|a_{n}|} \le[/mm] q  für (fast) alle n [mm] \in \IN [/mm] .

Das stimmt aber nicht, wie man an der Folge [mm] a_n=1/n [/mm] sehen kann

Es ist  [mm]\wurzel[n]{|a_{n}|}[/mm] < 1 für alle n [mm] \ge [/mm] 2. Wenn man nun annimmt, dass es ein q [mm]\in[/mm] (0,1) gibt  mit [mm]\wurzel[n]{|a_{n}|} \le[/mm] q  für (fast) alle n [mm] \in \IN [/mm] , so würde folgen:

                   1 [mm] \le [/mm] q,

denn [mm] (\wurzel[n]{|a_{n}|}) [/mm] konvergiert gegen 1.

FRED





>  
> Kann ich nicht jetzt einfach beide Seiten mit [mm]|^{n}[/mm]
> bearbeiten, sodass ich direkt auf [mm]|a_{n}| \le q^{n}[/mm] , dass
> ich direkt die Abschätzung mit der geometrischen Reihe als
> Majorante habe?


Bezug
                
Bezug
Wurzelkriterium Beweis: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:30 Do 09.02.2012
Autor: EvelynSnowley2311

hey,

ok etwas genauer ausgedrückt wäre es:

lim sup [mm] \wurzel[n]{|a_{n}|} [/mm] <1 => es exisitiert ein q [mm] \in [/mm] (0,1) und N [mm] \in \IN [/mm] mit [mm] |a_{n}| [/mm] < [mm] q^{n} [/mm] für alle n [mm] \ge [/mm] N. Nachdem Majorantenkriterium konvergiert die Reihe absolut, weil die geometrische Reihe konvergiert.  

Ist das hier so gemacht, dass man einfach auf beiden Seiten der Ungleichung [mm] |^{n} [/mm] rechnen kann?

Bezug
                        
Bezug
Wurzelkriterium Beweis: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:46 Do 09.02.2012
Autor: fred97


> hey,
>  
> ok etwas genauer ausgedrückt wäre es:
>  
> lim sup [mm]\wurzel[n]{|a_{n}|}[/mm] <1 => es exisitiert ein q [mm]\in[/mm]
> (0,1) und N [mm]\in \IN[/mm] mit [mm]|a_{n}|[/mm] < [mm]q^{n}[/mm] für alle n [mm]\ge[/mm] N.
> Nachdem Majorantenkriterium konvergiert die Reihe absolut,
> weil die geometrische Reihe konvergiert.  
>
> Ist das hier so gemacht, dass man einfach auf beiden Seiten
> der Ungleichung [mm]|^{n}[/mm] rechnen kann?


Sei  a:=lim sup [mm]\wurzel[n]{|a_{n}|}[/mm]<1.

Ist dann q [mm] \in [/mm] (a,1), so gibt es ein N [mm] \in \IN [/mm] mit:                  



                   [mm] \wurzel[n]{|a_{n}|} \le [/mm] q  für alle n >N.

"Jetzt alles hoch n" liefert:

                  [mm] |a_n| \le q^n [/mm]  für alle n >N.

FRED


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